Эстетика математики. 
Философия математики

^[1]

Математика есть прообраз красоты мира.

Вернер Гейзенберг

Многие мыслители восхищались красотой и совершенством математики. Триаду учительского девиза «Сеять разумное, доброе, вечное!» можно выразить категориями истина, добро и красота. Как понятия человеческого сознания они несут на себе определенный отпечаток относительности и субъективизма. Но мало кто сомневается, что это фундаментальные универсалии, отражающие основные лики Творца. Стало быть, истина, добро и красота имеют абсолютный и объективный характер и тесно взаимосвязаны между собой. Заметим, что постмодернистская философия отвергает эту триаду.

Поиском истины заняты наука и искусство, но делают это по-разному. Научное познание опирается на логику, факты и дает точное знание, а художественное познание есть сфера прекрасного, ассоциируется с интуицией и образным мышлением. Категории добра и зла относятся к этике, воплощаются в понятиях морали, совести, справедливости, права. Проявления истины и красоты этичны и целесообразны.

Современная научная картина мира базируется на принципах математизации и красоты. Математика — наука о форме и количестве, выражаемых на абстрактном символическом логико-математическом языке. Эстетика также исследует форму, но с точки зрения красоты и совершенства и иными выразительными средствами. Закономерная форма всегда прекрасна. Принцип математизации познания, как он сформулирован Галилеем, предполагает все математически измерить и провозглашает измеримость критерием научности. Измерение и координатизация позволяют отразить свойства и отношения изучаемого объекта количественно, обычно в виде численных функциональных зависимостей (таблиц, графиков, уравнений). Выявленные закономерности описываются на языке математических формул и правил их преобразования. Принцип красоты в науке — это принцип эстетического отбора, заключающийся в зарождении, выживании и развитии наиболее целесообразных, эффективных, совершенных понятий и теорий.

Из чего складывается понятие прекрасного? Признаками красоты в науке и жизни могут служить истинность, логичность, упорядоченность, соразмерность, гармоничность, структурность, конструктивность, концептуальность, абстрактность, общность, универсальность, краткость, простота, нетривиальность, новизна, оригинальность, неожиданность, историчность, целесообразность, соответствие объекта стереотипному представлению о нем. Математика является источником и носителем всех этих проявлений красоты и культуры.

Многие ученые и мыслители пытались, каждый по-своему, вывести общую формулу красоты. Приведем некоторые из них.

• • Мера красоты = порядок/сложность (Г. Биркгоф).
• • Красота = наглядность + неожиданность, в свою очередь наглядность = простота + изоморфизм (В. Г. Болтянский).
• • Эстетическая значимость равна отношению: необходимая сложность/минимальная программа (М. В. Волькенштейн).
• • Красота тождественна целесообразности (И. Е. Ефремов).
• • Математика есть изящное искусство (Я. Шатуновский).
• • Красота есть обобщенный стандарт + динамический элемент (Р. X. Шакуров).

Как известно, большое внимание взаимосвязям математики и искусства уделяли А. В. Волошинов [113, 114], Б. В. Раушенбах [453] (в теории перспективы) и В. В. Налимов [377] (на основе теоретико-вероятностной формулы Байеса).

На наш взгляд, не может быть единой формулы красоты (как, впрочем, добра, зла, любви), но существует соответствующий принцип (или закономерность) эстетического отбора, служащий надежным критерием «эстетической целесообразности» (не обязательно мгновенного действия): узнавания прекрасного и отсеивания безобразного. Тем не менее все приведенные выше подходы или описания весьма полезны, поскольку отражают прямо или формально отдельные «прекрасные черты» математики.

Первая составляющая эстетики математики — ее логика и язык. «Сначала было слово». (Или ген?) И действительно, первой из наук возникла математика. Она сама служит общепризнанным языком науки. Степень математизации данной области знания есть показатель ее научности. Привлекательны строгость и стройность дедукции, ставшей общенаучным методом обоснования истины. Точные науки пользуются аксиоматическим методом построения своих теорий. Сформировался мощный язык математической логики, ставший теоретической основой компьютерной техники. Во многом осуществилась фантастическая идея Лейбница о создании универсальной вычислительной машины.

Вторая эстетическая составляющая математики связана с ее объектом: по Энгельсу, «математика изучает пространственные формы и количественные отношения окружающего мира». Здесь красота математики проявляется, прежде всего, в гармонии чисел и изяществе геометрических фигур. Вспомним хотя бы пифагорейское учение о натуральном числе как первооснове всего сущего или связь золотого сечения с числами Фибоначчи (см. [75, 612]). Высокий уровень абстракций и обобщений привносит свои элементы красоты в математику. Классические достижения математики так же вечны, как и великие произведения искусства. Так, фундаментальное явление симметрии исторически воплотилось в современном алгебраическом понятии группы [77].

Мы можем также любоваться парадоксальными картинами Морица Эшера (Эсхера) [303], математическими образами А. Т. Фоменко [569], изумительными фракталами, являющими собой прекрасные рисунки — реализации некоторых математических формул [405], поразительной компьютерной графикой, имеющей применения в абстрактной математике [217], неожиданными орнаментами и мозаиками Пенроуза [130].

К категории прекрасного, безусловно, относятся фундаментальные понятия, идеи, методы и конструкции математики. Так, общий и незаменимый в приложениях метод математического моделирования — еще один неисчерпаемый источник красоты. Здесь математика выступает в качестве «меры вещей». Напомним, что Декарт определял математику как «науку о порядке и мере». На этом основана универсальность и эффективность применений математики.

Красота математики проявляется и в перестановочности математических операций, в терминах которой формулируются основные свойства многих математических объектов. Назовем, например, законы дистрибутивности и законы де Моргана, аддитивность производной и интеграла, свойства предельного перехода.

Часто в качестве основы перестановочности операций выступают гомоморфизмы математических структур (см. § 4), играющие роль одной из таких операций.

Известный японский математик Горо Шимура, высказавший гипотезу — вместе с коллегой и другом Ютака Таниямой — о взаимосвязи между эллиптическими кривыми и модулярными формами и, тем самым, внесший существенный вклад в решение Великой теоремы Ферма, подчеркивает: «Многие математики занимаются своей наукой их эстетических соображений, и моя философия того, что такое хорошо, также происходит из моих эстетических соображений». Полистаем последнюю главу книги физика академика Е. Л. Фейнберга «Две культуры» [558], которую автор назвал «Интеллектуальная революция. На пути сближения двух культур». В этой книге философски осмысливаются взаимоотношения искусства и науки, интуиции и логики, на которых основываются, соответственно, гуманитарное знание и естественные науки (как две равноправные культуры). Два подхода к познанию мира были обозначены еще в античности — это научная деятельность и творчество философов и художников, сохранившие и преумножившие свое духовное значение в дальнейшей жизни человечества. Слияния естественных и гуманитарных наук, конечно же, не произойдет. Однако естествознание и математика начинают осознавать необходимость в гуманитарном знании и что они сами являются человеческим фактором.

По Е. Л. Фейнбергу, причина сближения двух культур «лежит в самом росте математизированного знания — в компьютеризации (если выразить это одним словом), точнее, в том, что стремительно возрастает доля интеллектуальной деятельности, которая может быть передана машине и которую машина выполняет неизмеримо быстрее и надежнее, чем человек. В принципе так может быть охвачена вся формализуемая часть мыслительной деятельности человека. Совершенствование ЭВМ состоит в том, что машине передаются все более сложные формальнологические операции. В результате все отчетливее выступают внелогические, подлинно творческие и целиком „человеческие“ компоненты науки, которые ранее… были в значительной степени заслонены огромным вкладом необходимой логической деятельности».

Завершая главу, автор подчеркивает, что на рубеже тысячелетий произошла «интеллектуальная революция», выявившая «все возрастающую роль внелогического, интуитивного синтетического суждения в науке». Отмечается особое положение «чистой» математики, в которой подавляющее значение имеет логическое мышление, что «необходимо именно для поиска путей дальнейшего, все более существенного освобождения мыслительной деятельности от „грубого труда“ в других областях знания…» Процесс гуманизации науки, «все более выявляющий роль внелогических компонентов в естественнонаучном и математизированном творчестве, идет одновременно с „обратным“ процессом математизации в гуманитарной сфере там, где это возможно. При этом математизация, составляющая сущность прикладной математики, сама начинает использовать методы дискурсии, свойственные гуманитарным наукам, и потому меняет свой характер. Во всем этом и заложена объективная основа для развития взаимопонимания „двух культур“».

В работе В. Россмана [465] рассматривается проблема: как понимать знаменитое высказывание Ф. И. Достоевского «Красота спасет мир»? Автор раскрывает смысл этой фразы Федора Достоевского в рамках критической философии Иммануила Канта, в психоанализе Зигмунда Фрейда и в западной аналитической философии.

Содержанием критической философии у Канта являются три критики, последовательно отвечающие на вопросы: «Что мы можем знать?», «Что мы можем делать?» и «На что мы можем надеяться?» Третья критика представляет собой то единственное, что связывает добро и истину. Критика чистого разума приводит к метафизической необходимости веры и морали, выходящих за пределы разума. Третья критика подготавливает почву для другой добродетели — надежды.

Россман пишет: «В центре внимания третьей критики — учение о красоте и целесообразности в природе. Наиболее интригующий момент этой критики состоит в том, что Кант связывает понятие красоты с надеждой. Красота — и прежде всего наша способность замечать и получать удовольствие от красоты — дает нам основания надеяться, что мир устроен таким образом, что наши цели не чужды целям этого мира. Красота определяется Кантом как „бесцельная цель“. Эта „бесцельность“ и дает человеку надежду. Красота спасает наш безнадежный и от всего изолированный мир субъективности, намекая на присутствие высшего существа, которое — человек может на это надеяться — обеспечивает гармонию между непознаваемым миром и познавательными способностями».

Задача философии психоанализа Фрейда — помощь людям в борьбе с демонами бессознательного и сексуального, которые терзают психику человека и лишают его разума. Имеется только два способа укрощения разрушающей человека сексуальности — ее подавление или ее сублимация в производство красоты. Фрейд выбирает второй путь — путь красоты как сублимации остаточной сексуальной энергии в творчество. Такая красота и спасает человека.

У Достоевского красота другая, хотя ее логика созвучна и Канту, и Фрейду. Красота у Достоевского и Канта открывает путь в другое измерение бытия и приводит к божественной любви первого и к моральному добру — второго. Но красота у Достоевского связана с эросом, являющимся для него началом и разгадкой всего сущего.

Далее, автор замечает, что «чрезмерно разросшийся мир идей вытесняет и подавляет жизненный мир: в мире, переполненном идеальными сущностями, людям становится тесно и неуютно». Аналитическая философия ассоциирует этот переполненный идеями мир с магической бородой Платона, как и волосы библейского Самсона, заключающей в себе всю мощь метафизической философии. Важнейшей установкой аналитической философии, выраженной метафорически, является обрезание бороды Платона. Это обрезание Россман рассматривает как проявление некоей интеллектуальной эстетики, «подвергающей корневые конструкции разума под редуцирующее лезвие бритвы. В этом плане красота способна спасти мир — для разума! — как раз потому, что она спасает от „внемировых“ отвлекающих излишеств сам разум». Но и без бороды, т. е. без идей и идеологии, жизнь невозможна.

Большое внимание красоте в математике уделяют и методисты [216, 481].

Литература

: [51, 75, 77, 103, 113, 114, 130, 216, 217, 303, 335, 377, 405, 453, 465, 481, 491, 519, 550, 558, 569, 612, 617].

• [1] Вечтомов Е. М. Об эстетике математики // Вестник ВятГГУ. 2012. 1(4). С. 69—75.