Случайные величины. 
Теория вероятностей

Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно — заранее не известно).

Примеры случайных величин:

• 1) число родившихся детей в течение суток в г. Москве;
• 2) количество бракованных изделий в данной партии;
• 3) число произведенных выстрелов до первого попадания;
• 4) дальность полета артиллерийского снаряда;
• 5) расход электроэнергии на предприятии за месяц.

Случайная величина называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное¹.

Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, бесконечное несчетное множество^[1][2] значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси^[3].

Так, в приведенных выше примерах 1)—3) имеем дискретные случайные величины (в примерах 1) и 2) — с конечным множеством значений; в примере 3) — с бесконечным, но счетным множеством значений); а в примерах 4) и 5) — непрерывные случайные величины.

Прежде чем перейти к более строгому определению случайной величины, основанному на теоретико-множественной трактовке основных понятий, следует отметить, что возможности использования в теории вероятностей понятия события, введенного ранее в гл. 1, ограничены. Это связано с тем, что элементарные исходы (события) в общем случае имеют нечисловую природу (например, интерес игрока вызывает не наступление какого-либо случайного исхода в игре, а связанный с ним размер выигрыша или проигрыша). Для того чтобы качественные результаты испытаний отобразить количественно, достаточно каждому элементарному исходу (событию) со поставить в соответствие некоторое число, т. е. на множестве элементарных исходов О задать функцию.

Определение. Случайной величиной X называется функция, заданная на множестве элементарных исходов (или в пространстве элементарных событий)^[4] _у т. е.

где со — элементарный исход (или элементарное событие, принадлежащее пространству О, т. е. со е О).

Для дискретной случайной величины множество Е возможных значений случайной величины, т. е. функции /(со), конечно или счетно, для непрерывной — бесконечно и несчетно.

Убедимся, например, в том, что случайная величина X — число дней во взятом наудачу месяце года (невисокосного) есть функция элементарных исходов (событий) со, т. е. X = /(со). В результате испытания — розыгрыша (выбора наудачу) месяца года — все множество элементарных исходов (пространство элементарных событий) О может быть представлено в виде.

где со₁₅ со₂, со₃,…, со!₉ — соответственно 1-й, 2-й, 3-й, 12-й месяц года.

Так как Х (щ) = 31, Х (со₂) = 28, Х (со₃) = 31, Х (со₄) = 30, …, Х (со₁₂) = 31, то число дней во взятом наудачу месяце года (случайная величина X) есть функция элементарных исходов (событий) со.

Случайные величины будем обозначать прописными буквами латинского алфавита X, У, Ху …, а их значения — соответствующими строчными буквами Ху у у 2,…

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону распределения или «подчинена» этому закону распределения.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины X является таблица (матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т. е.

или (сокращенно

Такая таблица (матрица) называется рядом распределения дискретной случайной величины.

События Х = х_{, Х = х₂,…, Х = х_пу состоящие в том, что в результате испытания случайная величина X примет соответственно значения х₂, х_п,

являются несовместными и единственно возможными (ибо в таблице перечислены все возможные значения случайной величины), т. е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины

(Эта единица как-то распределена между значениями случайной величины, отсюда и термин «распределение».).

Ряд распределения может быть изображен графически, если, но оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а, но оси ординат соответствующие их вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую многоугольником, или полигоном, распределения вероятностей (рис. 3.1).

Рис. 3.1.

> Пример 3.1. В лотерее разыгрываются: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение. Возможные значения случайной величины X — чистого выигрыша на один билет — равны 0 — 7 = -7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200 — 7 = 193, 250 — 7 = 243, 5000 — 7 = 4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля).

Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5,4 и 1, и используя классическое определение вероятности, получим

т.е. ряд распределения.

[> Пример 3.2. Вероятности того, что студент сдаст семестровый экзамен в сессию по дисциплинам Д_х и Д₂, равны соответственно 0,7 и 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Возможные значения случайной величины X — числа сданных экзаменов — 0, 1,2.

Пусть А_х — событие, состоящее в том, что студент сдаст ?-й экзамен (г = 1, 2). Тогда вероятности того, что студент сдаст в сессию 0, 1, 2 экзамена, будут соответственно равны (считаем события А_{ и А₂ независимыми):

Рис. 3.2.

Итак, ряд распределения случайной величины

На рис. 3.2 полученный ряд распределения представлен графически в виде многоугольника (полигона) распределения вероятностей. ?

• [1] См. сноску на с. 52.
• [2] Такое множество в математике называют континуумом.
• [3] Строгое определение непрерывной случайной величины дано ниже.
• [4] В случае бесконечного несчетного множества элементарных событий О это определение нуждается в уточнении (связанном с измеримостью функции /(со) относительноа-алгсбры Б), которое здесь не приводится, так как выходит за рамки данной книги.