Независимые события. 
Теорема умножения для независимых событий

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Подставив (*) в соотношение (***) предыдущего параграфа, получим.

Отсюда.

т.е. условная вероятность события А в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие А не зависит от события В.

Итак, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) — Р (А)Р_Л (В) имеет вид.

т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (**) принимают в качестве определения независимых событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Пример 1. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.

Решение. События Лий независимые, поэтому по теореме умножения искомая вероятность.

Замечание 1. Если события Лий независимы, то независимы также события Л и В, А и В, А и й. Действительно,

Следовательно,.

Отсюда.

т.е. события Лий независимы.

Независимость событий Л и й, Л и В — следствие доказанного утверждения.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события A_v A_v Л₃ независимы в совокупности, то независимы события Л, и Л₉, Л₁ и A_v А₂ и А₃; А_{ и А₂ А_у А₂ и А_{А_у А₃ и А_]А_Г Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: один — в красный цвет (Л), один — в синий цвет (В), один — в черный цвет © и один — во все эти три цвета (АВС). Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет?

Так как из четырех шаров два имеют красный цвет, то Р (Л) = = 2/4 = ½. Рассуждая аналогично, найдем Р (В) = ½, Р (С) = ½. Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т. е. событие В уже произошло. Изменится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т. е. изменится ли вероятность события Л? Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность события Л по-прежнему равна 1 /2. Другими словами, условная вероятность события Л, вычисленная в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Следовательно, события Л и В независимы. Аналогично придем к выводу, что события Л и С, В и С независимы. Итак, события Л, В и С попарно независимы.

Независимы ли эти события в совокупности? Оказывается, нет. Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероятность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет. Таким образом, допустив, что события В и С произошли, приходим к выводу, что событие Л обязательно наступит. Следовательно, это событие достоверное и вероятность его равна единице. Другими словами, условная вероятность Р_ВС(А) = 1 события А не равна его безусловной вероятности Р (А) = = ½. Итак, попарно независимые события Л, В, С не являются независимыми в совокупности.

Приведем теперь следствие из теоремы умножения.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Доказательство. Рассмотрим три события: Л, В и С. Совмещение событий Л, В и С равносильно совмещению событий ЛВ и С, поэтому.

Так как события Л, В и С независимы в совокупности, то независимы, в частности, события ЛВ и С, а также Л и В. По теореме умножения для двух независимых событий имеем:

Итак, окончательно получим

Для произвольного п доказательство проводится методом математической индукции.

Замечай и е. Если события Л _1? Л₂,…, А_п независимы в совокупности, то и противоположные им события Л, Л₂, А _п также независимы в совокупности.

Пример 2. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение. Вероятность появления герба первой монеты (событие Л).

Вероятность появления герба второй монеты (событие В).

События Л и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна

Пример 3. Имеются 3 ящика, содержащие по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Р е ш е и и e. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие Л),

Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В)_у

Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С),

Так как события Л, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна.

Приведем пример совместного применения теорем сложения и умножения.

Пример 4. Вероятности появления каждого из трех независимых событий Л, Л₂, Л₃ соответственно равны р_{> р₂, р_г Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Решение. Заметим, что, например, появление только первого события Л₁ равносильно появлению события Л₁Л₂Л₃, (появилось первое и нс появились второе и третье события). Введем обозначения:

— появилось только событие Л, т. е. В_х = Л₁Л₂Л₃;

В₂ — появилось только событие Л₂, т. е. В₉ = Л₂Л₁Л₃;

В₃ — появилось только событие Л₃, т. е. В₃ = Л₃Л₁Л₂,.

Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий Л, Л₂, A_v будем искать вероятность Р (В_{ + В₂ + 5₃) появления одного, безразлично какого из событий В_{, В._)У В_г

Так как события B_v B_v В_ч несовместны, то применима теорема сложения.

Остается найти вероятности каждого из событий B_v В." В,.

События Л _1? Л₂, Л₃ независимы, следовательно, независимы события A_v Л₉ и Л₃, поэтому к ним применима теорема умножения:

Аналогично,.

Подставив эти вероятности в (*), найдем искомую вероятность появления только одного из событий Л, Л₂, Л₃: