Отклонение случайной величины от ее математического ожидания

Пусть X — случайная величина и М (Х) — ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность Х-М (Х).

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Пусть закон распределения X известен:

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х_х — М (Х)_У достаточно, чтобы случайная величина приняла значение х_у Вероятность же этого события равна/?,; следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение л;, — М (Х), также равна/?,. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

Приведем важное свойство отклонения, которое используется далее.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий, математическое ожидание постоянной равно самой постоянной) и приняв во внимание, что М (Х) — постоянная величина, имеем.

Пример. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

Убедиться, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

Решение. Найдем математическое ожидание X:

11айдем возможные значения отклонения, для чего из возможных значений X вычтем математическое ожидание М (Х): 1 — 1,8 = -0,8; 2 — 1,8 = 0,2.

Напишем закон распределения отклонения:

Найдем математическое ожидание отклонения:

Итак, математическое ожидание отклонения равно нулю, как и должно быть.

Замечание. Наряду с термином «отклонение» используют термин.

«центрированная величина». Центрированной случайной величиной X называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Название «центрированная величина» связано с тем, что математическое ожидание есть центр распределения (см. гл. 7, § 3, замечание).