Закон равномерного распределения вероятностей

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, например, законы равномерного, нормального и показательного распределений. В настоящем параграфе рассматривается закон равномерного распределения вероятностей. Нормальному и показательному законам посвящены следующие две главы.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Приведем пример равномерно распределенной непрерывной случайной величины.

Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину X, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким образом, X имеет равномерное распределение.

Найдем плотность равномерного распределения /(.г), считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервале (а, Ь), на котором функция f (x) сохраняет постоянные значения.

По условию, X не принимает значений вне интервала (а, Ь), поэтому f (x) = 0 цтхЬ.

Найдем постоянную С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу {а, Ь), то должно выполняться соотношение.

Отсюда.

Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения.

Рис. 6.

График плотности равномерного распределения изображен на рис. 6, а график функции распределения — на рис. 4.

Замечание. Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0,1), а через г — ее возможные значения. Вероятность попадания величины R (в результате испытания) в интервал (с, d), принадлежащий интервалу (0, 1), равна его длине:

Действительно, плотность рассматриваемого равномерного распределения.

Следовательно, вероятность попадания случайной величины R в интервал (с, d) (см. гл. 11, § 2).

Далее случайная величина R используется неоднократно (см. гл. 21).

Задачи

1. Случайная величина задана плотностью распределения.

Найти коэффициент а.

Отв. а = 1 /2.

2. Случайная величина задана плотностью распределения.

Найти: а) функцию распределения; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, заключенное в интервале (0, я/4).

3. Случайная величина X задана функцией цаспределения.

Наи ги плотность распределения.

Отв. f (x) = (sin х)/2 в интервале (0, я); вне этого интервала /(.г) = 0.

Опт. /(.г) = 1 в интервале (0,1); вне этого интервала fix) = 0. 4. Случайная величина Xзадана функцией распределения.