Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Доказательство. Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р = 1. Следовательно,.

Замечание 1. Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину X как дискретную случайную СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений X. Например, если вероятность возможного значения х_х равна р_г то вероятность того, что величина СХ примет значение Cx_v также равнар_у

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Доказательство. Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины СХ:

Математическое ожидание случайной величины СХ:

Итак,.

Замена н и е 2. Прежде чем перейти к следующему свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них нс зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

3 а м е ч, а н и е 3. Определим произведение независимых случайных величин X и У как случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение У; вероятности возможных значений произведения ХУ равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения х_{ равнаp_v вероятность возможного значения г/, равна g, то вероятность возможного значения ^ХУ равна p, g_r

Заметим, что некоторые произведения х_ху могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей. Например, еслих₁у₂=х₃г/₅, то вероятностьх_{у₂ (или, что-то же, х₃у₅) равнаp_{g₂ + p₃g₅.

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть независимые случайные величины X и У заданы своими законами распределения вероятностей^[1]:

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все возможные значения X на каждое возможное значение Y; в итоге получимx_ty_vx₂y_vx_xy₂ их₂у_т Учитывая замечание 3, напишем закон распределения XY, предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

или.

Итак, M (XY) = М (Х) • М (Y).

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных величин имеем:

Для произвольного числа случайных величин доказательство проводится методом математической индукции.

Пример 1. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

Случайные величины X и У независимые, поэтому искомое математическое ожидание.

Замечание 4. Определим сумму случайных величин Х У как случайную величину X + У, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым возможным значением У; вероятности возможных значений X +Y для независимых величин X и У равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин — произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

Заметим, что некоторые суммы х + у могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если х_{ + у₂ = х₃ + у₅ и вероятности этих возможных значений соответственно равны р_п и р₃₅, то вероятность х_{ + х₂ (или, что-то же, х._Л + у₅) равна р_{2 + р._л5.

Следующее ниже свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Доказательство. Пусть случайные величины X и У заданы следующими законами распределения^[2]:

Составим все возможные значения величины X + У. Для этого к каждому возможному значению X прибавим каждое возможное значение У; получим х_{ + y_v х_{ + у₂, х₂ + у_{ и х₂ + у_Т Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через р_и, p_{V р_2{ и р₂₂.

Математическое ожидание величины X + У равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

или.

Докажем, чтор_и + р₁₂ = р_у Событие, состоящее в том, что X примет значение х_х (вероятность этого события равна р,), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X + Y примет значение х_х + у_х или х_х + у₂ (вероятность этого события по теореме сложения равнар_и + р_х2)_у и обратно. Отсюда и следует, чтор_и + р_]2 = р_у Аналогично доказываются равенства.

Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим.

или окончательно.

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Например, для трех слагаемых величии имеем.

Для произвольного числа слагаемых величин доказательство проводится методом математической индукции.

Пример 2. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными /?, = 0,4; р₂ = 0,3 и = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Р е ш е н и е. Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью р_х = 0,4 и 0 (промах) с вероятностью <7=1— 0,4 = 0,6.

Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания (см. § 2, пример 2), т. е. М (Х,) = 0,4. Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах: М (Х₂) = 0,3, М (Х₃) = 0,6.

Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:

Искомое математическое ожидание находим по теореме о математическом ожидании суммы:

Пример 3. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Р е ш е н и е. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через X и на второй — через Y. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и б, причем вероятность каждого из этих значений равна 1/6.

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:

Очевидно, что и М{У) = 1 /2.

Искомое математическое ожидание.

• [1] Для упрощения выкладок мы ограничились малым числом возможных значений. В общем случае доказательство аналогичное.
• [2] Чтобы упростить вывод, мы ограничились лишь двумя возможными значениями каждой из величин. В общем случае доказательство аналогичное.