Линейная корреляция. 
Нормальная корреляция

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, У). Если обе функции регрессии У на X и X на Улинейны (см. § 15), то говорят, что X и У связаны линейной корреляционной зависимостью. Очевидно, что графики линейных функций регрессии — прямые линии, причем можно доказать, что они совпадают с прямыми среднеквадратической регрессии (см. § 20). Имеет место следующая важная теорема.

Теорема. Если двумерная случайная величина (X, У) распределена нормально, тоХиУ связаны линейной корреляционной зависимостью.

Доказательство. Двумерная плотность вероятности (СМ. § 19).

где

Плотность вероятности составляющей X (см. § 19, замечание).

Найдем функцию регрессии М (Ух), для чего сначала найдем условный закон распределения величины У при X-х [см. § 14, формула (**)]:

Подставив (*) и (**) в правую часть этой формулы и выполнив выкладки, имеем.

Заменив мио по формулам (**), окончательно получим.

Полученное условное распределение нормально с математическим ожиданием (функцией регрессии У на X).

и дисперсией а²(1-г²).

Аналогично можно получить функцию регрессии X на У:

Так как обе функции регрессии линейны, то корреляция между величинами X и У линейная, что и требовалось доказать.

Принимая во внимание вероятностный смысл параметров двумерного нормального распределения (см. § 19), заключаем, что уравнения прямых регрессии.

совпадают с уравнениями прямых среднеквадратической регрессии (см. § 20).