Расчетная часть. 
Генератор (ламповый) электрических колебаний

Анодно-сеточная характеристика

Рассмотрим радиотехнический генератор колебаний (Рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 Радиотехнический генератор колебаний Роль колебательной системы с потерями выполняет колебательный RLC-контур, обратная связь осуществляется посредством взаимной индуктивности катушек L и L1, источником питания служит анодная батарея, а активным элементом, преобразующим энергию источника в энергию колебаний является трехэлектродная лампа — триод (впрочем, не имеет принципиального значения, выполнен генератор на основе вакуумной электронной лампы или полупроводникового транзистора). При некотором постоянном значении анодного напряжения ua зависимость анодного тока лампы ia от напряжения на сетке ug (анодно-сеточная характеристика) имеет вид (Рисунок3.2).

Рисунок 3.2 Анодно-сеточная характеристика На сетку лампы подается постоянное напряжение смещения u0, обеспечивающее выбор рабочей точки на анодно-сеточной характеристике.

Получим дифференциальное уравнение, описывающее колебания в генераторе. Обозначая токи в индуктивной и емкостной ветвях контура как iL и iC, соответственно, запишем уравнения Кирхгофа:

ia=iL + iC (3.1),.

(3.2),.

Продифференцируем 3.1 и подставим в 3.2:

(3.3).

Сеточное напряжение, очевидно, можно представить в виде.

ug = u0 + u,.

где, M — коэффициент взаимоиндукции. Продифференцируем равнение (3.3) еще раз и перепишем его относительно u:

(3.4),.

Здесь — крутизна анодно-сеточной характеристики. Следуя Ван дер Полю, аппроксимируем ее в окрестности рабочей точки кубическим многочленом что можно сделать в случае слабой нелинейности. Тогда уравнение (3.4) принимает вид:

(3.5).

Здесь — собственная частота колебательного контура. Уравнение 3.5 носит название уравнения Ван дер Поля и является основной моделью при анализе периодических автоколебаний.

Определим условия самовозбуждения автоколебаний. Приведя к линейному виду уравнение 3.5, получим.

(3.6).

При RC>Mg0 это обычное уравнение линейного осциллятора с затуханием и состояние равновесия устойчиво. При.

Mg0>RC (3.7).

оно превращается в уравнение осциллятора с отрицательным трением и, следовательно, малые возмущения будут нарастать с течением времени.

Анализируя соотношение (3.7), можно сделать несколько важных выводов. Во-первых, коэффициент взаимоиндукции должен быть положительным. В этом случае колебания поступившие с выхода усилителя, синфазны с колебаниями в контуре и способствуют их усилению. Такая обратная связь называется положительной. Наоборот, при M < 0 колебания противофазны и взаимно подавляют друг друга. Обратная связь стабилизирует положение равновесия и называется отрицательной.

Второй вывод, который можно сделать из (3.7), также достаточно очевиден: усиление, которое характеризуется коэффициентом g0, должно превосходить потери (за них отвечает сопротивление R). Вообще, как правило, для самовозбуждения генератора любого типа необходимо выполнение двух условий, которые обычно называют амплитудным и фазовым.

Смысл этих условий:

• а) энергия источника, которая преобразуется в энергию колебаний, должна превосходить потери;
• б) эта энергия должна поступать в колебательную систему в правильной фазе и способствовать усилению колебаний.

Удобно привести уравнение Ван дер Поля (3.5) к более простому виду, содержащему единственный управляющий параметр. Вводя безразмерные переменные.

?=щ0t,, получим.

(3.8).

где— единственный безразмерный параметр, а «/"обозначают дифференцирование по ф. Наряду с уравнением Рэлея.

(3.9).

оно служит основной моделью для анализа периодических автоколебаний.

Принципиальной разницы между этими уравнениями нет: заменой уравнение (3.8) приводится к виду (3.9).

Уравнение Ван дер Поля имеет единственную особую точку, которая является устойчивым узлом при л < ?2, устойчивым фокусом при ?2< л< 0, неустойчивым фокусом при 0 <�л 2. Если выполнено условие самовозбуждения л> 0, на фазовой плоскости имеется также предельный цикл, отвечающий режиму периодических автоколебаний.

(3.10).

Где x=u — перемещение.

— скорость точки Уравнения Ван дер Поля справедливо не только для описания автоколебательных процессов в ламповом генераторе. Оно справедливо также для описания других автоколебательных процессов, в частности, для описания автоколебаний при сухом трении.

Система из:

Система u:

(3.11).

При малых u из 3.11 получается дифференциальная система:

Характеристическое уравнение:

=0 (3.12).

Определитель 3.12 равен:

(-?)(?-?)+1=0 ??2-??+1=0 (3.13).

Находим корни уравнения 3.13:

D=b2−4ac=?2−4.

(3.14).

Рассмотрим случаи, когда ?2.

При ?<2 корни ?1 и ?2 — комплексные числа (например, ?=1,5):

Из системы:

Возьмем и.

Это показывает, что — возрастает Фазовые траектории приведены на (рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 Фазовые траектории При ?=2:

Из системы:

a и b произвольные, тогда:

Поэтому, при а=0:

Фазовые траектории — кривые, (рисунок 3.4).

Рисунок 3.4 Фазовые траектории Для — направление L1; для — L2.

Фазовые траектории — гиперболы (рисунок 3.5).

Рисунок 3.5 Фазовые траектории Рассмотрим случай, если <0, a>0(рисунок 3.6):

Рисунок 3.6 Фазовые траектории Рассмотрим случай, если =>0(рисунок 3.7):

Рисунок 3.7 Фазовые траектории Рассмотрим пример построения фазовой траектории по заданным параметрам:

На основе полученных результатов построим две таблицы: фазовая диаграмма с малым шагом (таблица 1) и фазовая диаграмма с большим шагом (таблица 2).

Фазовая диаграмма с малым шагом Фазовая диаграмма с большим шагом.

Как видно из построенных графиков, фазовая траектория стремиться к траектории, показанной на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 Фазовые траектории.