Пятая случайные функции

СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Основные задачи

Можно выделить два основных вида задач, решение которых требует использования теории случайных функций.

Прямая задача {анализ): заданы параметры некоторого устройства и его вероятностные характеристики (математические ожидания, корреляционные функции, законы распределения) поступающей на его «вход» функции (сигнала, процесса); требуется определить характеристики на «выходе» устройства (по ним судят о «качестве» работы устройства).

Обратная задача {синтез): заданы вероятностные характеристики «входной» и «выходной» функций; требуется спроектировать оптимальное устройство (найти его параметры), осуществляющее преобразование заданной входной функции в такую выходную функцию, которая имеет заданные характеристики. Решение этой задачи требует кроме аппарата случайных функций привлечения и других дисциплин и в настоящей книге не рассматривается.

Определение случайной функции

Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Случайные функции аргумента t обозначают прописными буквами X{t), Y{t) и т. д.

Например, если U — случайная величина, то функция Х{!)=С U — случайная. Действительно, при каждом фиксированном значении аргумента эта функция является случайной величиной: при t_{ = 2.

получим случайную величину Х_х = AU, при t₂ = 1,5 — случайную величину Х₂ = 2,25 U и т. д.

Для краткости дальнейшего изложения введем понятие сечения.

Сечением случайной функции называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции. Например, для случайной функции X (t) = t²U, приведенной выше, при значениях аргумента 7, = 2 и t₂ = 1,5 были получены соответственно случайные величины X_{ = AUn Х₂ = 2,2577, которые и являются сечениями заданной случайной функции.

Итак, случайную ф у н к ц и ю можно рассматр и — вать как совокупность случайных величин {Х (?)}, зависящих от параметра t. Возможно и другое истолкование случайной функции, если ввести понятие ее реализации.

Реализацией (траекторией, выборочной функцией) случайной функции X (t) называют неслучайную функцию аргумента t, равной которой может оказаться случайная функция в результате испытания.

Таким образом, если в опыте наблюдают случайную функцию, то в действительности наблюдают одну из возможных ее реализаций; очевидно, при повторении опыта будет наблюдаться другая реализация.

Реализации функции X (t) обозначают строчными буквами x_t(t)_t x₂(t) и т. д., где индекс указывает номер испытания. Например, если X (t) = (/sin t, где U — непрерывная случайная величина, которая в первом испытании приняла возможное значение и_{ = 3, а во втором испытании и₂ = 4,6, то реализациями X (t) являются соответственно неслучайные функции х_{ (t) = 3sin t и х₂ (t) = 4,6sin t.

Итак, случайную функцию можно рассматривать как совокупность ее возможных реализаций.

Случайным (стохастическим) процессом называют случайную функцию аргумента t, который истолковывается как время. Например, если самолет должен лететь с заданной постоянной скоростью, то в действительности вследствие воздействия случайных факторов (колебание температуры, изменение силы ветра и др.), учесть влияние которых заранее нельзя, скорость изменяется. В этом примере скорость самолета — случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (времени), т. е. скорость есть случайный процесс.

Заметим, что если аргумент случайной функции изменяется дискретно, то соответствующие ему значения случайной функции (случайные величины) образуют случайную последовательность.

Аргументом случайной функции может быть не только время. Например, если измеряется диаметр ткацкой нити вдоль ее длины, то вследствие воздействия случайных факторов диаметр нити изменяется. В этом примере диаметр — случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (длины нити).

Очевидно, задать случайную функцию аналитически (формулой), вообще говоря, невозможно. В частных случаях, если вид случайной функции известен, а определяющие ее параметры — случайные величины, задать ее аналитически можно. Например, случайными являются функции:

X{t) = sin Qf, где Q — случайная величина,.

X (t) = Г/sin t, где U — случайная величина,.

X (t) = Г/sin Qt, где О. и [/—случайные величины.