Численное интегрирование. 
Математические методы решения профессиональных задач

Различают метод левых, правых и средних прямоугольников. Суть метода ясна из рисунка. На каждом шаге интегрирования функция аппроксимируется полиномом нулевой степени — отрезком, параллельным оси абсцисс.

Рисунок 3 — Метод левых, правых и средних прямоугольников Выведем формулу метода прямоугольников из анализа разложения функции f (x) в ряд Тейлора вблизи некоторой точки x = xi.

…

Рассмотрим диапазон интегрирования от xi до xi+h, где h — шаг интегрирования.

Вычислим …=.

= =. Получили формулу правых (или левых) прямоугольников и априорную оценку погрешности r на отдельном шаге интегрирования. Основной критерий, по которому судят о точности алгоритма — степень при величине шага в формуле априорной оценки погрешности.

В случае равного шага h на всем диапазоне интегрирования общая формула имеет вид.

.

Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки в соответствующем отрезке.

В зависимости от выбора мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правых прямоугольников (7), (8).

(7).

(8).

Формула трапеции:

Формула Симпсона.

.

где m=n/2.

h=b-a/n.

b, a — концы рассматриваемого отрезка.

Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок [0, ] на 6 равных отрезков:

h=.

По формуле левых прямоугольников:

По формуле трапеции:

По формуле Симпсона:

А результат полученный аналитически равен.

=1.

Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.

Формулы прямоугольников являются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезок интегрирования [a, b ] на п равных частей длиной. Заметим, что величину h называют шагом интегрирования. В точках разбиения х 0 = а, х 1 = a + h, …, xn = b отметим ординаты y 0, y 1 ,…, yn кривой f (x), т. е. вычислим уi = f (xi), xi = a+ ih = xi -1 + h (i =). На каждом отрезке длиной h построим прямоугольник со сторонами h и yi, где i =, т. е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадь криволинейной трапеции, определяющую величину интеграла, приближенно можно представить в виде суммы площадей прямоугольников (рисунок 3). Отсюда получим формулу прямоугольников:

. (9).

Если при вычислении интегральной суммы брать значения функции f (x) не в левых, а в правых концах отрезков длиной h, что показано на рисунке 1 пунктирной линией, то получим второй вариант формулы прямоугольников:

. (10).

Третий вариант формулы прямоугольников можно получить при использовании значений функции f (x), вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h (рисунок 3):

. (11).

Формулы (9), (10) и (11) называют формулами левых, правых и центральных прямоугольников соответственно.

Рисунок 4 — сумма площадей прямоугольников.

Рисунок 5 — сумма площадей прямоугольников Формула трапеций. Здесь на каждом элементарном интервале [xi -1, xi ] длины h точки с координатами (xi -1, yi -1) и (xi, yi) соединяются отрезком (рисунок 4). Тогда площадь трапеции, построенной на этом интервале, определяется произведением 0,5h (yi -1 + yi). Суммируя площади элементарных трапеций для i = получим приближенное значение интеграла:

. (12).

Рисунок 6 — сумма площадей трапеций Формула Симпсона. Разобьем интервал интегрирования на 2n равных частей длиной. На каждом отрезке [xi, xi+2 ] подынтегральную функцию f (х) заменим параболой, проходящей через точки (xi, yi), (xi +1, yi +1), (xi +2, yi +2). Тогда приближенное значение интеграла определяется формулой Симпсона:

. (13).

При вычислениях на ЭВМ более удобна следующая формула:

Метод Симпсона — один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, он дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно.

нелинейный уравнение дифференциальный полином.