Задачи. 
Теория вероятностей и математическая статистика

1. Является ли стационарной случайная функция Х (1) = t^:4J, где U — случайная величина, причем: а) т_и ф 0, б) т_и = О?

Отв. а) Нет: m (t) Ф const; б) Нет: корреляционная функция зависит не от разности аргументов, а от каждого из них.

2. Стационарна ли случайная функция X (l) = sin (t + (р), где (р — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2л)?

Отв. Да: m_x(t) = 0 = const, K_x(t_v t₂) = 0,5cos (t₂ — t_t).

3. Известно, что если cp — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 2л), то случайная функция X (t) = sin (f + (р) — стационарная. Можно ли отсюда непосредственно заключить, что случайная функция Y (t) = cos (f + (р) также стационарна?

Отв. Можно: изменив начало отсчета аргумента, например на л/2, стационарной функции Х{г), получим функцию Y (t).

4. Задана случайная функцияХ (г)=г+ (/sin t+ Ceos f, где U и С—случайные величины, причем M (U) = М (V) = О, D{ U) = D (V) = 5, M (UV) = 0. Доказать, что: a) X (t) — нестационарная функция; б) Х (!) — стационарная функция.

Отв. а) m_x(t) Ф const; б) т_л. (?) = const, K_x(t_v t₂) = 5cos (t₂ — T,).

5. Известна корреляционная функция k_x (z) = Зе~^2т стационарной случайной функции X (t). Найти корреляционную функцию случайной функции Y (t) = 5X (t).

Отв. k,_/(T) = 75e-²'². ₂

6. Задана корреляционная функция /г_г(т) = 2е~^2х стационарной случайной функции X (t). Найти нормированную корреляционную функцию.

Отв. р_х(т) = е~^2х .

7. Заданы две стационарные случайные функции X (t) = cos (2t + ф) и Y (t) = sin (2f + ф), где ф — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2л). Доказать, что заданные функции стационарно связаны.

Отв. R (T, f₉) = 0,5sin 2(L-t,).

• ?чЛ 1' V ⁴ 2 U «0.2
• 8. Задана корреляционная функция к,.(т) = 6е стационарной случайной функции Х ((). Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию производной X'(t) = X.

Отв. a) k.(x) = 0,24е~°'^2т2(1−0,4т²); б) D_r =0,24.

9. Задана корреляционная функция &,.(т) = е~^х стационарной случайной функции Х (г). Найти взаимные корреляционные функции случайной функции Х (с) и ее производной.

Отв. г_х-(т) = -2те‘^т; г_хх. (т) = 2те" ^т.

10. Задана корреляционная функция k_x(z) = e^Htl стационарной случай;

t

ной функции X (t). Найти дисперсию интеграла Y (t) = jX (s)ds.

Отв. D_:/(t) = 2(t + е^ч — 1). ⁰