Неинерциальные системы отсчета

Второй закон Ньютона формулируется для инерциальных систем отсчета. В то же время никто не может запретить рассматривать движение частицы в неинерциальной системе. Возникает вопрос: как будут выглядеть уравнения движения частицы в неинерциальной системе отсчета?

В пункте 1.2.6 рассматривались преобразования от одной системы отсчета к другой. Формула (1.36) определяет ускорение частицы в системе К через характеристики ее движения в системе К':

Здесь Р, у' — положение и скорость частицы в системе К К, со — скорость и угловая скорость вращения системы К' относительно К.

Если система К инерциальна, та = Р, где Р — сила, вызванная взаимодействием частицы с другими телами («настоящая» сила). Умножая равенство (2.122) на т, получаем.

Это уравнение имеет вид второго закона Ньютона, только в правой части помимо настоящей силы появились фиктивные «силы инерции», связанные с ускоренным и вращательным движением системы К'.

Важное замечание. Рассмотрение преобразований в пункте 1.2.6 велось в рамках ньютоновских представлений о пространстве и времени, и приведенные результаты справедливы лишь при достаточно малых скоростях.

Задача 2.21. В вагоне, движущемся с постоянным ускорением а, с верхней полки падает мяч. Как он будет двигаться в системе вагона? Решение. Оси х, х' выберем в направлении движения вагона, оси.

I, I' — вертикально вверх. Имеем: Уравнение (2.123) принимает вид

отсюда.

Скорость не меняет направления и линейно растет со временем. Мяч движется по прямой, образующей с вертикалью угол, а = 'dтcig (a/g). Результат вовсе нс очевидный.

Задача 2.22. В условиях предыдущей задачи как нужно расположить плоскость, чтобы мяч на ней неподвижно лежал?

Решение. Ясно, что положенный на пол вагона мяч будет катиться в сторону задней стенки вагона. На мяч, согласно (2.124), действует сила . Если плоскость расположить ортогонально этой силе, реакция опоры в сумме с этой силой даст нуль, и мяч будет находиться в равновесии. Обратите внимание на то, что падающий мяч из предыдущей задачи движется по нормали к этой плоскости. Так же будет ориентироваться нить отвеса. Свободная поверхность жидкости ориентируется ортогонально отвесу.

Задача 2.23. Как будет двигаться свободная частица в кабине космического корабля с выключенными двигателями?

Решение. Ответ мы знаем, но сейчас можно понять, почему это так. Имеем:

и уравнение (2.123) принимает вид.

Это уравнение движения свободной частицы в инерциальной системе отсчета. Сила инерции скомпенсировала гравитационную силу. Это возможно потому, что силы инерции, как и гравитационные, пропорциональны массе. Это наводит на мысль о том, что гравитационные и инерционные силы — это силы одной природы. Это положение лежит в основе современной теории гравитации.

Важное замечание. Никакая специфика космического корабля в решении не использовалась. Полученный результат будет верен в любой свободно падающей невращающейся системе отсчета.

Рис. 2.2.

Задача 2.24. В лабораторной системе вокруг вертикальной оси вращается с угловой скоростью со диск (рис. 2.2). На диске укреплена вертикальная стойка, к которой на нити привязана частица массой т. Как будет ориентироваться нить в установившемся режиме?

Решение. Пусть Т — натяжение нити. На частицу действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Уравнение (2.123) дает:

отсюда.

Пусть частица находится в плоскости х'01'• Имеем:

Таким образом, для натяжения получим.

Нить ориентирована вдоль вектора Т. Из равенства (2.127) следует, что угол между нитью и вертикалью будет а = агОД (<�о²х'/&) — (Обратите внимание: х' — это координата частицы, а не точки подвеса!).

Задача 2.25. На диск из предыдущей задачи установлен сосуд с жидкостью. Какую форму примет поверхность жидкости?

Решение. Поверхность жидкости будет поверхностью вращения с осью симметрии, совпадающей с осью вращения диска. Элемент жидкости на поверхности будет в равновесии, если касательная плоскость к поверхности в месте нахождения этого элемента будет ортогональна вектору Т из предыдущей задачи. В сечении поверхности жидкости плоскостью x’Oz' мы получим кривую z' = А*') (вращение этой кривой вокруг оси вращения диска и даст поверхность жидкости). Производная '/dx' есть тангенс угла наклона касательной к этой кривой к оси х. Учитывая результат предыдущей задачи, будем иметь.

откуда z' = (со²/2g)x'² + const. Это уравнение параболы. Таким образом, поверхность жидкости есть параболоид вращения.

Замечание. В решении нигде не фигурировала форма сосуда и его положение на диске. В общем случае поверхность жидкости — это фрагмент указанного параболоида. Постоянная интегрирования определяется формой сосуда и количеством жидкости (очевидно, возможен случай, когда часть дна сосуда будет сухой). Если ось вращения диска проходит через жидкость, эта постоянная равна глубине жидкости на оси вращения.

Задача 2.26. К вертикально направленной оси электромотора под прямым углом приварена гладкая спица, по которой скользит с пренебрежимо малым трением шайба массой т. Ось мотора вращается с угловой скоростью со. Как будет двигаться шайба по спице?

Решение. Перейдем во вращающуюся вместе со спицей систему координат. Спица и ось вращения лежат в плоскости x’Oz'. Шайба движется вдоль оси х и нас интересует функция х' = /(/). На шайбу действуют сила mg и сила N со стороны спицы, направленная под прямым углом к спице. Уравнение (2.123) дает

В компонентах:

Приравняв множители при /', получим.

Это уравнение определяет движение шайбы вдоль спицы. В следующем пункте мы увидим, как решаются такие уравнения. Сейчас просто приведем решение:

Здесь v₀ — скорость частицы в точке с координатой х₀. Мы еще вернемся к этому решению.

Задача 2.27. В условиях предыдущей задачи найти силу, с которой шайба действует на спицу.

Решение. Из уравнения (2.129), учитывая, что сила N не имеет составляющих вдоль спицы, получим.

Это сила, действующая на шайбу со стороны спицы. На спицу будет действовать сила -N. Первое слагаемое в правой части (2.131) — сила, компенсирующая силу тяжести. В космическом корабле такой силы не было бы. Второе слагаемое более интересно. Эта сила, зависящая от скорости, возникающая во вращающейся системе, называется силой Кориолиса. Происхождение такой силы легко понять. Когда шайба удаляется от оси вращения, растет ее скорость, перпендикулярная спице (эта скорость равна cor). Для создания соответствующего ускорения необходима сила, которую и создает спица. Кроме того, вектор скорости меняет направление, что также обеспечивается спицей.

Задача 2.28. В условиях задачи 1.22 найти боковую силу, с которой давит на рельсы вагон массой 100 т.

Решение. Искомая сила — это сила Кориолиса. В задаче 1.22 было найдено кориолисово ускорение 2й х v'. Умножая это ускоренис на массу вагона, найдем силу, с которой рельсы действуют на вагон. Эта сила будет равна Р_к = т |2со х у'| = 240 Н и направлена с запада на восток. Таким образом, вагон будет давить на правый рельс. Сила не очень велика, но именно по этой причине в Северном полушарии реки подмывают правый берег.