Энергия системы. 
Изменение энергии со временем

Обратимся снова к уравнению движения /-й частицы системы.

Умножим обе части равенства скалярно на V. = :

Сокращая на <3/ и суммируя по всем частицам, получаем Сумма в левой части равенства.

называется кинетической энергией системы. Величина 6 У_к есть малое изменение кинетической энергии системы.

Первая сумма в правой части — это сумма элементарных работ внешних сил, действующих на систему.

Интегрируя равенство (3.26), будем иметь.

Изменение кинетической энергии системы равно работе внешних и внутренних сил.

Задача 3.10. В боковой стенке широкого сосуда с жидкостью имеется малое отверстие, из которого струей вытекает жидкость. От чего зависит и чему равна скорость жидкости в отверстии?

Решение. Обратимся к формуле (3.26). В качестве системы рассматриваем частицы жидкости, находящиеся в сосуде в момент времени /. Определим изменение кинетической энергии этой системы за время <3/. За это время масса жидкости ст со скоростью V пересечет сечение отверстия, и такая же масса исчезнет из тонкого слоя у поверхности жидкости. Изменение энергии состоит в том, что исчезла масса с практически нулевой скоростью, а за сечением отверстия появилась масса со скоростью V. Таким образом, 6У_к = ст у²/2. Далее, найдем работу внешних сил. Внешние силы, действующие на рассматриваемую систему, — это сила тяжести и силы со стороны стенок и дна сосуда. Нам нужно найти работу этих сил. Что касается работы сил со стороны стенок сосуда, то если жидкость невязкая, эти силы направлены по нормали к стенке и работы не совершают, так как прилегающие к стенке частицы жидкости перемещаются по касательной к стенке. Если жидкость вязкая, появляются касательные к стенке силы вязкого трения, которые работу совершают, но найти ее для сосуда произвольной формы далеко не просто. Обозначим эту работу АЛ. С силами тяжести дело проще. Имеем:

(ось I — вертикально вверх, ёг — изменение высоты частицы). Далее:

Выражение в скобках — это потенциальная энергия У_п частиц жидкости в поле тяжести, а работа равна изменению потенциальной энергии. Изменение потенциальной энергии системы состоит в том, что с высоты 1—Н исчезает тонкий слой массой 6т, и такая же масса появляется на уровне отверстия г = 0. Таким образом, 61У_п = 0 — 6mgJI = -6mgH. Что касается работы внутренних сил, то в невязкой жидкости она равна нулю, а в вязкой входит в работу АЛ.

Уравнение (3.26) дает

Если работой сил вязкого трения можно пренебречь (вязкость не слишком велика, отверстие не слишком мало), V = и скорость такая же, как если элемент жидкости просто упал с высоты И.

Кинетическую энергию системы можно представить в следующем виде. Положим  — радиус-вектор центра масс. Тогда.

Подставляя это выражение для скорости в формулу (3.27), получаем.

Вторая сумма в правой части равна нулю (это импульс системы в системе центра масс). В результате имеем

Здесь т — полная масса системы, V — скорость центра масс. Величина IV* представляет внутреннюю кинетическую энергию системы (кинетическая энергия в системе отсчета, в которой центр масс покоится).

Если внутренние силы (силы взаимодействия частиц системы) потенциальны, второе слагаемое в правой части равенства (3.28) равно убыли внутренней потенциальной энергии системы Полагая Е' = IV* + У^ равенство (3.28) с учетом (3.29) перепишем в виде.

Здесь АЕ' = Е'₂ — Е[ — изменение внутренней энергии системы.

Эта формула позволяет уточнить понятие «частица», динамику которой мы обсуждали в гл. 2. Частица — это объект, обладающий массой, внутренняя энергия которого не изменяется при рассматриваемом движении.

Задача 3.11. Ковер, свернутый в рулон, расположен в верхней части наклонной плоскости. Край ковра прибивают, а рулон, разматываясь, начинает скатываться вниз. Что происходит с потенциальной энергией ковра?

Решение. Потенциальная энергия системы в поле тяжести.

где т — полная масса системы, а7- высота центра масс.

Когда ковер в рулоне лежит на наклонной плоскости, его центр масс находится на оси рулона. Когда рулон размотается и ковер будет лежать на наклонной плоскости, его центр масс расположится в середине ковра. Легко сосчитать убыль потенциальной энергии. Вопрос в том, куда она девается? Пока рулон катится, она переходит в кинетическую энергию рулона. Важно понимать, что никакие силы, кроме силы тяжести, работы не совершают. Силы со стороны наклонной плоскости ортогональны плоскости и не совершают работы, так как ковер укладывается на плоскость в основании рулона с нулевой скоростью. Лежащая на плоскости часть ковра кинетической энергией не обладает, и кинетическая энергия разматывающегося рулона все время растет, а его масса убывает. В конечном итоге она вкладывается в еще не легшую часть ковра исчезающе малой массы, скорость которой поэтому стремится к бесконечности, и выделяется в виде тепла и шума при ударе этой последней части ковра о наклонную плоскость. На самом деле, конечно, все происходит менее драматично, так как ковер имеет конечную толщину и сопротивляется изгибу, поэтому последняя разворачивающаяся часть ковра имеет конечную массу и ее скорость не стремится к бесконечности, хотя и может быть велика. Аналогичное явление происходит при щелканьи бича, которым пугают зверей на арене цирка. При разворачивании бича его кинетическая энергия вкладывается во все уменьшающийся и утончающийся остаток. Сам щелчок происходит оттого, что конец бича развивает сверхзвуковую скорость.

Задача 3.12. Две частицы массами /я, т₂ соединены невесомым стержнем длиной /. Написать формулу для кинетической энергии этой системы для общего случая движения.

Решение. Исходим из формулы (3.29). Центр масс системы совпадает с некоторой точкой стержня (см. задачу 3.5). Пусть V — скорость центра масс. В системе отсчета, движущейся с этой скоростью (система центра масс), центр масс неподвижен, и возможное движение нашей системы — это вращение с угловой скоростью со вокруг оси, проходящей через центр масс. Скорости частиц при этом будут Имеем:

Здесь , В задаче 3.5 было показано, что.

Таким образом,.

Кинетическая энергия системы определяется скоростью центра масс V и угловой скоростью вращения со.