Линия построений на плоскости и в пространстве

Как мы уже отмечали, линия геометрических построений — одна из старейших в курсе геометрии. И если изначально построения являлись методом решения задач, в том числе и прикладных, и доказательства теорем, то теперь решение задач на построение является средством применения изученной теории либо служит для мотивации ес изучения. В связи с развитием техники уходят в историю и построения на местности, и некоторые измерения на местности, использующие соответствующие построения. Анализ программ и учебников разных лет показывает, что объем содержания линии построения неуклонно уменьшается. По традиции в нее включаются построения циркулем и линейкой на плоскости (выполнение простейших построений и знакомство с основными методами построений), построение сечений многогранников (никаких реальных построений здесь не выполняется, речь идет об изображениях фигур), построение изображений плоских и пространственных фигур на основе свойств параллельного и центрального проектирования. В настоящее время в учебниках геометрии основной школы явно представлены простейшие построения циркулем и линейкой: построение биссектрисы угла, перпендикуляра к прямой, деление отрезка пополам, построение угла, равного данному, и треугольника, равного данному, построение параллельных прямых. Методы геометрических построений (метод параллельного переноса, спрямления, симметрии и некоторые другие) специально не изучаются, хотя задачи на построение этими методами можно найти в учебниках как в основном тексте, так и среди задач повышенной сложности. В лучшем положении находится метод геометрических мест точек, правда, нс как метод построений, а как понятие «геометрическое место точек» (ГМТ) — множество точек плоскости или пространства. Явно оно представлено, например, в учебнике И. М. и В. А. Смирновых. В учебнике биссектриса угла, серединный перпендикуляр позиционируются как геометрические места точек, затем простейшие построения рассматриваются как построения соответствующих геометрических мест. В настоящее время такой подход к изучению построений на плоскости представляется наиболее оптимальным.

Самыми простыми геометрическими местами точек являются окружность и сфера, поэтому само понятие ГМТ может появиться как при изучении геометрического материала в 5—6-х классах, так и при актуализации знаний в начале изучения основного курса геометрии в 7-м классе, что позволит при изучении свойств биссектрисы угла и свойств равнобедренного треугольника переформулировать соответствующие утверждения в терминах ГМТ и обсудить возможность построения биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку как практическое приложение изученной теории.

Организовать самостоятельную работу учеников можно на основе следующих заданий.

Задание 18.13.

Сформулируйте определение серединного перпендикуляра к отрезку. Будет ли серединным перпендикуляром к основанию равнобедренного треугольника медиана, проведенная из его вершины? Ответ обоснуйте.

Каким будет расстояние до концов отрезка от любой точки серединного перпендикуляра к данному отрезку? Сформулируйте полученный результат как теорему. Она выражает свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

Сформулируйте обратное утверждение и проверьте его истинность.

Задание 18.14.

Выполняя предыдущее задание, вы получили свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Можно ли использовать его, чтобы сформулировать правило построения серединного перпендикуляра к отрезку с помощью циркуля и линейки? Сколько точек, принадлежащих серединному перпендикуляру, достаточно построить? Каким будет это правило?

Аналогичные задания можно составить, чтобы получить правило деления угла пополам (построения биссектрисы). Целесообразно вывести и альтернативный способ построения биссектрисы после выполнения следующего задания.

Задание 18.15.

Рис. 18.10

На какие теоретические знания опирается известный издавна способ деления пополам угла, нарисованного на бумаге или построенного на местности: на сторонах угла отложены равные отрезки ЛИ и AD, AF и /16? Соединяем накрест F и D, С и ?? Точку пересечения прямых О соединяем с вершиной угла (рис. 18.10)?

При изучении признаков равенства треугольников рассматривается построение угла, равного данному, и построение треугольников по трем элементам, обозначенным в основных признаках равенства. Построение треугольников по иным элементам, однозначно определяющим треугольники, может быть предложено ученикам, интересующимся предметом, для подготовки докладов (эти построения позволяют сформулировать и обосновать новые признаки равенства треугольников и тем самым обогатить теорию).

Основные методы построений циркулем и линейкой (метод ГМТ, метод симметрии, метод спрямления, метод подобия, метод параллельного переноса) целесообразно рассматривать на занятиях математического кружка. Там же следует представить и схему решения задач на построение: анализ — построение — доказательство — исследование.

В курсе стереометрии от всего многообразия задач на построение осталось лишь построение сечений многогранников — воображаемые построения, а по факту — задачи на доказательство, призванные прежде всего закрепить у школьников аксиомы и первые теоремы стереометрии. Также традиционно считается, что решение этих задач обеспечивает развитие пространственных представлений школьников, несмотря на то что в них ученики оперируют плоскими изображениями.

Изучение стереометрии требует изображения пространственных фигур, в связи с чем с разной степенью подробности в учебниках рассматриваются параллельное проектирование и его свойства (наиболее последовательно и полно — в учебниках А. Д. Александрова, И. М. и В. А. Смирновых, в учебнике Л. С. Атанасяна свойства вынесены в приложения). При работе по любому учебнику геометрии учителю следует рассмотреть свойства параллельного проектирования, на их основе сформулировать требования к изображению объемных фигур: правильность изображения, наглядность (максимальная похожесть на оригинал), простота исполнения.

При построении сечений многогранников плоскостью рассматриваются как позиционные задачи, так и метрические. Методы построения сечений в действующих учебниках в явном виде не представлены, однако целесообразно на несложных задачах раскрыть ученикам суть метода следа.

Суть метода состоит в том, что строится след заданной плоскости сечения на плоскости основания призмы или пирамиды, а далее с его помощью строятся линии пересечения плоскости сечения с гранями многогранника.

Организовать работу по знакомству учеников с построением сечения методом следа помогут следующие задания.

Задание 18.16.

Какая фигура образуется при пересечении двух плоскостей? При каких условиях отрезок (прямая) принадлежит плоскости?

Какой след оставит плоскость MNP на гранях SAB, SBC, SAC пирамиды SABC (рис. 18.11)? Пересекут ли прямые MN и NC плоскость.

Рис. 18.11 Рис. 18.12

ЛВС? Как найти точки пересечения прямых с плоскостью ЛВС? Какой след оставит плоскость MNP на плоскость основания пирамиды?

Задание 18.17.

Какой след оставит на гранях пирамиды 8ЛВС (рис. 18.12) плоскость, определяемая прямой DK и точкой F? Изобразите соответствующие следы на гранях. Какая фигура при этом получится? Будет ли она плоской?

После выполнения этих заданий могут быть сформулированы определения секущей плоскости и сечения многогранника плоскостью, сформулировано правило построения сечения методом следа, рассмотрены простые задачи на построение сечений параллелепипеда и пирамиды.

Работу по обучению построению сечений следует продолжить при изучении параллельности и перпендикулярности в пространстве (построение сечений, параллельных или перпендикулярных ребру многогранника или его грани, определение вида сечения, его периметра и площади). При итоговом повторении курса геометрии эти задачи также будут полезны, если в условие будет включено не только построение сечения, определение его вида и численных характеристик, но и вычисление величины угла между сечением и основанием, объема тел, на которые сечение разбивает многогранник, как, например, в задании 18.18.

Задание 18.18.

В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно боковому ребру, определите площадь сечения и величину угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. Вычислите объемы тел, на которые сечение разбило пирамиду.

Болес подробно вопросы построения сечений многогранников, параллельного и ортогонального проектирования, решения задач на проекционном чертеже могут быть рассмотрены на внеклассных занятиях по математике (занятиях факультатива). Набор заданий по теме учитель может составить, например, используя книгу В. II. Литвиненко'.