Частные методы обучения математике в процессе достижения метапредметных образовательных результатов

Среди частных методов обучения математике особо следует выделить анализ. Обусловлено это тем, что анализ главным образом встречается при выполнении операций сравнения (нахождения общего и разного), выделения главного (частей, связей, идей), классификации, выявления закономерностей, абстрагирования, конкретизации, систематизации. Таким образом, умение анализировать используется при осуществлении весьма широкого круга действий — и не только в математике.

Можно выделить основные составляющие анализа:

• • установление причинно-следственных связей;
• • выделение сторон объекта;
• • деление объекта на части.

Умение анализировать является общеинтеллектуальным (универсальным) умением.

Составляющая умения анализировать — установление причинно-следственных связей — необходима в повседневной жизни. Оно является основой построения логически непротиворечивых рассуждений. С помощью таких рассуждений умозрительно отыскивается и доказывается истина.

Важно различать логически необходимые, основанные на закономерностях логического вывода (дедуктивные), и эмпирические, основанные на опыте рассуждения (индуктивные) рассуждения. Игнорирование этого различия может привести к многочисленным ошибкам в построении рассуждений. Можно привести пример задачи, требующей понимания логической необходимости. Она демонстрирует конфликт между логически верными и эмпирически истинными выводами.

Задание 24.1.

Пусть есть две истинные посылки: 1) все композитные числа делятся на 8 без остатка; 2) 26 — композитное число. Следовательно:

• 1) 26 — нс композитное число;
• 2) 26 — исключение из правил;
• 3) 26 делится на 8 без остатка.
• 4) наверное, не все композитные числа делятся на 8 без остатка. Представьте себе, что первые два предложения истинны. Сделайте

заключение

используя оба предложения. Выберите ответы из предложенных вариантов.

Рассмотрим составляющее анализа: деление объекта на части. При изучении любого материала важным становится умение выделять его основные единицы. Доказывая теорему, полезно выделить шаги доказательства, их теоретическое обоснование, что позволит понять суть доказательства. Деление объекта на части тесно связано также с умением планировать свою деятельность, с умением работать с текстом и образцами решения задач, а также с проверкой решения какого-либо задания по фиксации этапов решения.

Рассмотрим действие: выделение сторон объекта. Часто важным требованием при решении той или иной задачи становится рациональность способа решения. В этом случае решение «в лоб» не всегда отвечает этому требованию. Тогда на помощь может прийти такая составляющая умения анализировать, как выделение сторон объекта.

Простейшей иллюстрацией может служить следующее задание: «Вычислить a²b + ob², если а = 0,7; b = 0,3». Конечно, можно выполнять действия «в лоб», произведя при этом четыре умножения и одно сложение с «неудобными» дробными числами. Но можно поступить иначе, заметив, что исходное выражение представимо в виде аЬ{а + Л), причем результат суммы в скобках равен 1; значит, нужно вычислить лишь произведение а и Ь. Таким образом, выполняются одно сложение и два умножения (при этом одно из них на единицу). Очевидно, что второе решение является более рациональным, но сравнению с первым. Выделение сторон объекта при выполнении анализа используется часто при оптимизации деятельности, а также при необходимости рассмотрения отдельных сторон объекта для его всестороннего, детального изучения.

Можно привести несколько примеров заданий из разных учебных дисциплин, при выполнении которых преимущественно развиваются составляющие анализа.

Вопросы практики

• 1. Установление причинно-следственных связей:
• 1) в следующих предложениях вместо многоточий поставьте словосочетания «необходимо, но не достаточно», «достаточно, но не необходимо», «не необходимо и не достаточно», «необходимо и достаточно» так, чтобы получились верные утверждения:
  • • для того чтобы число было меньше 14, …, чтобы оно было меньше 15;
  • • условие (х + х + ){х — 2) > 0 является … для того, чтобы выполнялось х > 2;
  • • для выполнения равенства х + 2| = у — 3| … выполнение равенства (х + 2) = (у — 3);
  • • для того чтобы *+1=3,…, чтобы х = 1 (алгебра);
• 2) определите, где в следующем предложении подлежащее: «Солнце закрыло облако».

Здесь подразумевается примерно следующее рассуждение: гак как солнце не может закрыть облако, а только облако может закрыть солнце, то подлежащим является «облако» (русский язык).

• 2. Выделение сторон объекта'.
• 1) произвести пунктуационный разбор предложения:

«Конь поднялся на дыбы, плащ за спиной, как туча, клубится, а весь монумент так и рвется вперед, так и летит» (в данном случае объект — предложение) {русский язык);

• 2) без построения доказать, что график функции у = х² + 4х + 5 располагается выше оси абсцисс (объектом является квадратичная функция) {алгебра).
• 3. Разделение объекта на части:
• 1) найти целые корни уравнения: Зх³ + Ах² — 5х +2 = 0 (объектом является множество корней уравнения) (алгебра);
• 2) из данных элементов: Li, Na, К выделить тот, у которого максимально ярко выражены металлические; неметаллические; иные свойства (объект — триада химических элементов) (химия).

Заботясь о развитии умения анализировать на межпредметном уровне, мы считаем целесообразным предлагать учащимся следующие типы заданий:

• • направленные на использование всех операций анализа в рамках одного учебного предмета;
• • задания на стыке предметов;
• • описывающие жизненные ситуации или связанные с субъектным опытом ребенка и требующие операций анализа.

Выделенные типы заданий описывают в основном работу по развитию анализа «по горизонтали» (на одной возрастной ступени).

При рассмотрении анализа «по вертикали» можно говорить об этапах становления анализа:

• • практический анализ (осуществляется с предметами);
• • элементарный мысленный анализ (включает только основные операции анализа);
• • комплексный анализ (операции анализа включены или требуют использования в других интеллектуальных операциях). Для развития этого уровня анализа целесообразны задания исследовательского характера.