Математическая модель объекта

Эффективное управление процессами и промышленными объектами возможно в том случае, когда основные закономерности, присущие объекту, представлены в виде математического описания — математической модели.

Как известно, моделирование — метод изучения объектов, при котором вместо оригинала (интересующий нас объект) эксперимент проводится на модели (другой объект), а результаты количественно распространяются на оригинал.

Моделирование целесообразно, если:

• а) эксперимент на модели быстрее, дешевле, проще, безопаснее, чем эксперимент на оригинале;
• б) известно правило, по которому проводятся расчеты параметров оригинала на основе испытания модели.

Математическая модель — приближенное описание какого-либо явления или процесса внешнего мира с помощью математической символики: уравнений, неравенств, таблиц, графиков и г. д.

Технологические процессы пищевой промышленности как объекты моделирования весьма разнообразны, но своим свойствам и степени сложности. Для получения их математического описания используются два основных подхода: детерминистический и эмпирический. Оба подхода используются во всех областях науки и практики, и различие между ними играет важную роль в методологии науки.

Первый подход основан на исследовании механизма процесса, в результате которого создается теория, служащая основой дальнейшего анализа и управления процессом. Математические модели, полученные в ходе реализации этого подхода, называются детерминированными. Главное достоинство этих моделей — большая прогнозирующая мощь, недостаток — трудность создания теории сложных процессов.

Второй подход целесообразен, когда процесс сложен и расшифровка его механизма требует слишком большой затраты сил, а в ряде случаев на данном этапе наших знаний и вообще невозможна. Главное достоинство эмпирического подхода — его простота; главная слабость — малая надежность экстраполяции. Как правило, удается успешно смоделировать процесс для режимов, изученных в опытах (интерполяция), но попытка использовать эту модель за пределами исследованной области (экстраполяция) может приводить к серьезным погрешностям. Полученные на основе реализации этого повода математические модели называются статистическими.

Оба подхода образуют тесное единство, и в любой реальной модели имеются элементы того и другого подхода.

В зависимости от конкретной реализации моделируемого процесса и его аппаратурного выполнения математические модели могут быть отнесены к четырем основным видам: статические, динамические, с сосредоточенными параметрами, с распределенными параметрами.

Статические модели отражают работу объекта в стационарных условиях, когда параметры процесса не меняются во времени. Математическое описание не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравнений, или дифференциальных — для объектов с распределенными параметрами.

Динамические модели описывают изменение объекта во времени. Математическое описание таких моделей обязательно включает производную по времени. Часто динамическую модель объекта строят в форме передаточной функции, связывающей входные и выходные параметры.

Модели с сосредоточенными параметрами целесообразно применять для описания процессов, изменением параметров которых в пространстве можно пренебречь. Эти модели включают алгебраические уравнения или дифференциальные первого порядка, если процесс не стационарен.

Модели с распределенными параметрами используют для процессов, изменяющихся в пространстве, или как в пространстве, так и во времени. Такие модели включают, как правило, дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравнения, если процесс стационарен и характеризуется одной пространственной координатой.

Математическое моделирование включает ряд взаимосвязанных этапов:

а) постановку задачи; б) составление математического описания; в) составление алгоритма и его программную реализацию; г) установление адекватности модели объекту; д) использование математической модели.

Постановка задачи включает формулирование задачи, определение цели и критериев моделирования, содержательное описание объекта. На этом этапе выявляются фундаментальные законы, определяющие функционирование объекта; выясняют причинно-следственные отношения в объектах; выбирают систему зависимых и независимых переменных, входов и выходов объекта; ранжируют переменные, но их информационной значимости, определяют область их изменения.

Составление математического описания включает формализацию задачи, выбор и построение модели. На этом этапе записывают уравнения, связывающие существенные для моделируемого процесса параметры; определяют граничные и начальные значения переменных. Как правило, реализуется блочный принцип, суть которого в том, что модель строится из отдельных логически законченных блоков, отражающих ту или иную сторону процесса. Применительно к объектам пищевой промышленности в общем случае такими блоками будут: блок гидродинамики, блок изменения агрегатного состояния, блок химических превращений, блок теплообмена, блок массообмена.

Составление алгоритма включает выбор численного метода, составление алгоритма его реализации, программирование и отладку программы. При выборе метода решения системы уравнений математического описания руководствуются требованиями обеспечения максимальной быстроты получения решения, надежной сходимостью алгоритма решения и минимальной памятью ЭВМ. Следует возможно шире использовать стандартные программы и пакеты прикладных программ.

Установление адекватности модели объекту включает перенесение результатов расчетов на реальный объект, сопоставление их с имеющейся информацией об объекте или проведение специальных экспериментов на объекте. При необходимости проводится корректировка модели, т. е.

возвращаются к рассмотрению и уточнению вопросов предыдущих этапов.

Вышеизложенное отражает детерминированный подход к построению математической модели. При разработке статистической модели реализуются следующие этапы:

• а) постановка задачи;
• б) проведение эксперимента;
• в) анализ результатов эксперимента;
• г) проверка адекватности модели.

Содержание этапов а иг аналогично их содержанию при построении детерминированной модели.

Проведение эксперимента включает его планирование и собственно проведение. На этом этапе формулируются статистические задачи, разрабатываются методики анализа данных, устанавливается кратность повторения опытов, объем и периодичность выборок, на основе матрицы оптимальных планов составляется план эксперимента.

Анализ результатов эксперимента включает их статистическую обработку, выбор класса и вида модели, идентификацию параметров модели.

Вновь считаем нужным отметить, что на практике при построении модели используются элементы как детерминированного, так и статистического подходов. Таким образом, реальные модели — это экспериментально-аналитические модели.

В качестве примера реализации аналитического метода определения свойств объекта рассмотрим составление математической модели теплообменников смешения. В молочной промышленности паро-теплообменные аппараты используются для подогрева горячей воды, высокотемпературного нагрева при стерилизации, извлечения белков из обезжиренного молока.

В соответствии со схемой (рис. 3.1), используя уравнение теплового баланса для случая установившегося состояния, имеем.

где — расход продукта, кг/ч; — расход теплоносителя (пара), кг/ч; С₃ — выход смеси, кг/ч; С₁ — теплоемкость продукта, дж/кг • °С; г — теплосодержание пара, дж/кг; Ь₁ — начальная температура продукта, °С; С₃ — теплоемкость смеси, дж/кг • °С; Ь — температура смеси, °С, откуда.

В переходном процессе имеем

объем смесителя, м³;  — коэффициент усиления по каналу теплоносителя;  — коэффициент усиления по каналу продукта.

Рис. 3.1. Принципиальная схема паро-теплообменного подогревателя

Примером экспериментального определения свойств объекта может служить снятие и последующий анализ кривой разгона. Это наиболее простой, хотя и грубый метод определения свойств объекта; тем не менее он широко применяется в расчетах систем управления.

Кривая разгона представляет кривую изменения во времени выходного (регулируемого) параметра объекта при внесении в него скачкообразного возмущения. Кривую разгона получают следующим образом.

Объект приводят в равновесное состояние, которое характеризуется постоянством во времени всех его параметров. Затем по исследуемому каналу создают возмущение — скачкообразное изменение входной величины путем быстрого изменения степени открытия проходного сечения регулирующего органа. Величина вносимого возмущения Ах_их должна составлять 10—15% номинального для данного режима работы объекта значения входной величины. Одновременно, как правило, автоматическим самопишущим прибором регистрируется изменение выходной величины. В результате на ленте прибора записывается кривая разгона (рис. 3.2), которую подвергают обработке с целью определения численного значения постоянной времени Г, времени запаздывания т₀ и коэффициента усиления объекта К_()Г).

Рис. 3.2. График кривой разгона

Обработка заключается в следующем: к кривой в точке перегиба проводят касательную и продолжают ее до пересечения с установившимися состояниями — исходным х₀ и новым лг_уст. Проекция отрезка касательной, заключенного между линиями, на ось абсцисс представляет собой величину постоянной времени объекта Т. Расстояние, но оси абсцисс от начала координат, соответствующего моменту внесения возмущения, до точки пересечения с касательной соответствует времени запаздывания. Коэффициент усиления К₀б равен отношению изменения выходной величины Дх_вых от начального до нового установившегося к величине возмущения Лг_вх:

Таким образом, коэффициент усиления объекта численно равен изменению регулируемого параметра при перемещении регулирующего органа на 1% его полного хода.

При необходимости более детального описания свойств объекта для обработки кривой разгона используется так называемый метод моментов (площадей). Наибольшую точность при экспериментальном определении свойств объекта дают частотные потери.