Неполная обобщающая индукция

Доказательство Как физики доказывают, что все нечетные числа простые. Один — не является не простым, три — простое, пять — простое, семь — простое, девять — ошибка эксперимента, одиннадцать — простое, тринадцать — простое. По индукции заключаем, что теорема доказана.

Итак, имеются самые разнообразные причины, по которым сплошная проверка бывает невозможной. В таких случаях применяется процедура неполной обобщающей индукции.

Обобщающая индукция называется неполной, если в ней осуществляется частичная проверка предметов исследуемого класса.

Неполная обобщающая индукция — по способу отбора проверяемых объектов делится на популярную и научную. Схема популярной индукции имеет следующий вид:

Физики шутят.

URL: http://www.physicsjokes.

net/anek.html.

Отличие популярной индукции от полной состоит в (п + 1)-й посылке. При полной индукции класс М в точности совпадает с классом S. При индукции популярной он составляет лишь часть этого класса. Ясно, что истинность заключения в данном случае является проблематичной. Ведь среди непроверенных предметов из S могут быть и такие, которые свойством Р не обладают.

Пример ложного заключения, полученного посредством популярной индукции, — предложение «Все лебеди белые». «Оно, казалось бы, „вытекало“ из фактов: каждый раз при наблюдении некоторого конкретного лебедя европейцы убеждались, что он обладает белым цветом. Тем не менее, после открытия Австралии, где были обнаружены черные лебеди, стало ясно, что это индуктивное заключение неверно» (В. А. Бочаров, В. И. Маркин).

Рассматриваемое рассуждение называется популярной (народной) индукцией в силу своей наивной простоты. Эта простота проявляется прежде всего в том, что на наличие свойства Р, как правило, проверяются первые попавшиеся объекты. После чего проводится поспешное обобщение — типичная ошибка индуктивного рассуждения.

Однако вывод по неполной индукции можно существенно усовершенствовать и добиться повышения степени правдоподобности получаемых результатов.

Научная индукция проверяет на наличие свойства Р не первые попавшиеся предметы класса S, а те из них, которые специально отобраны для этой цели. При этом весь исследуемый класс S называют генеральной совокупностью, а множество отобранных из него образцов — выборкой.

Выборка подвергается сплошной проверке, а затем полученный результат переносится на всю генеральную совокупность. Для надежного обоснования такого переноса требуется, чтобы выборка была репрезентативной. Это означает, что выборка должна достаточно точно передавать структуру класса S, разнообразие его состава и, в частности, те его особенности, которые могут влиять на отсутствие свойства Р.

В таких случаях условимся говорить, что М репрезентирует 5, сокращенно М =S. Схема научной индукции такова:

п + 2. M = S утверждение о репрезентативности выборки.

/x (S (x) D Р (х)) индуктивное обобщение Добиться репрезентативности выборки (которая в любом случае должна быть максимально широкой — насколько позволяют возможности; в самом деле, довольно странно делать глобальные заключения о мнении 140 млн граждан на основании опроса всего полутора тысяч) можно двумя различными способами.

Первый способ основан на выдвижении некоторых гипотез о том, в силу каких причин у предметов исследуемого класса может отсутствовать свойство Р. (Уже известный нам метод — «вызываю огонь на себя».) Например, если проверяется доброкачественность партии консервированных продуктов, то отсутствие этого свойства (недоброкачественность) может зависеть от срока хранения продукта, от условий его хранения, от того, какое предприятие выпустило продукцию (скажем, имеется список «недобросовестных поставщиков»), и других параметров. Именно такие «подозрительные» образцы включаются в выборку и подвергаются проверке. Если гипотезы точно фиксируют все случаи, в силу которых продукция может оказаться недоброкачественной, и если в генеральной совокупности 5* таковая имеется, то в выборку практически обязательно попадет какое-то ее количество (подход К. Поппера, создателя теории фальсифицируемости научных гипотез).

Абитуриент на вступительном экзамене по математике:

• — Из точки на прямую можно провести один перпендикуляр, если проводить ровно. Увидев реакцию экзаменатора, оправдывается:
• — Так в учебнике написано! Открывают учебник, читают: «Из точки на прямую можно провести ровно один перпендикуляр».

Математики шутят. URL: http://pikabu.ru/story/ matematiki_shutyat_764 418.

А вот еще пример «популярной индукции», что называется, в духе «своевременных мыслей». Один из аргументов, оправдывающий ту или иную внутреннюю политику государства, организации и т. д., испокои веков применяемый тоталитарными режимами, заключается в утверждении: «Если бы что-то шло не так, мы бы имели выступления „против“. Ведь у нас демократия. Но почему-то никогда, когда мы от всей души предлагаем высказаться публично, мы не слышим резкой критики. Значит, мы делаем все правильно и в интересах граждан (сотрудников), о чем свидетельствует их молчание». При этом совершенно не принимается во внимание (точнее, сознательно умалчивается) тот факт, что те, кто реально в таких условиях мог бы высказаться против, просто не имеют такой возможности (например, не имеют допуска на соответствующие мероприятия, «сидят» или «махнув рукой, уже уехали», как в нынешней России); те же, кто имеет возможность высказаться, либо окончательно запуганы, либо используют условия режима и свое положение в системе в собственных интересах. Ясно, что только логики могут разоблачить подобную политическую софистику, указав на ошибку «априори нерепрезентативная выборка».

У данного (первого) метода составления репрезентативной выборки два недостатка. Первый связан с тем, что у нас могут отсутствовать хоть какие-то разумные гипотезы для объяснения свойства Р. Второй же состоит в том, что мы можем по тем или иным причинам упустить какой-то важный параметр, от которого зависит отсутствие свойства Р. Тем самым будет делаться определенная систематическая ошибка, которая и приведет к неверным результатам.

Чтобы исключить эти недостатки, применяют второй способ формирования выборки, порождая ее чисто случайным образом. Для этого используют специальные таблицы случайных чисел. Но чтобы такая случайная выборка оказалась репрезентативной, она должна быть достаточно объемной. Согласно закону больших чисел, закономерности, которым подчиняются массовые явления, обнаруживаются лишь при достаточно большом числе наблюдений. Иными словами, если случайным образом отобрать, скажем, 500 объектов из 1000, есть большая доля вероятности, что эта выборка воспроизведет в «миниатюре» генеральную совокупность.

Новости науки и политики Открыта десятая планета Солнечной системы. Это уже пятая по счету десятая планета, открытая за последние несколько лет.

P. S. (Реальная история). После скандала с поездкой в Италию губернатор (Боженов. — К. М.) решил 11родемонстрировать зримый результат: заложил первый камень на строительстве будущего свиноводческого комплекса во Фроловском районе. Никто не вспомнил, что первый камень там уже заложил в прошлом году предыдущий губернатор Анатолий Бровко.

URL: http://avmalgin. livcjournal.com/3 026 308.

html.

Объекты любой подобной выборки должны быть максимально разнообразны, а их типология должна соответствовать типологии исходной совокупности. Скажем, если мы исследуем мнение граждан о каком-то важном социальном законопроекте, мы должны включить в выборку женщин и мужчин, горожан и селян, учащихся, работающих и безработных, представителей коренного населения и пришлых народов, богатых и бедных, старых и молодых и т. д. Потому что ясно, к примеру, какой результат даст опрос на тему: «Надо ли жестко бороться с коррупцией вплоть до репрессивных мер?», проведенный среди чиновников среднего и высшего ранга современной России. И так же ясно, что он даст совершенно искаженную картину реальности. А за подобные искажения — и эго неоднократно доказывала история — приходится платить несчастьями, войнами и революциями.

Выполните упражнение 3 из Практикума.