О наблюдаемых и сопоставляемых им операторах

Как уже отмечалось выше, основы матричной квантовой механики были заложены Гейзенбергом, который, приступая к работе, имел иные побудительные мотивы, чем Шрёдингер. Гейзенберг поступил в чем-то аналогично Эйнштейну, отказавшемуся (при создании в 1905 году основ специальной теории относительности) от понятий абсолютного пространства (ассоциировавшегося с эфиром — якобы средой-переносчиком излучения) и абсолютного времени, поскольку соответствующие величины не могли быть измерены экспериментально. Иными словами, абсолютные координаты и абсолютное время не были наблюдаемы.

И Гейзенберг решил построить теорию атомных явлений, отказавшись от представлений Бора о движении электронов в атомах по «стационарным орбитам» как о принципиально ненаблюдаемых величинах. Вот точная формулировка первоначального плана Гейзенберга из его первой статьи, посвященной матричной механике («О квантовотеоретическом истолковании кинематических и механических соотношений», 1925 год):

" … кажется разумнее совсем отбросить надежду на возможность наблюдения до сих пор ненаблюдавшихся величин (таких, как положение и время обращения электрона) … и попытаться построить квантовотеоретическую механику,… в которую входили бы лишь соотношения между наблюдаемыми величинами" .

Гейзенберга любят критиковать, расширительно трактуя его мотив при создании матричной механики как некий философский принцип, который потом и опровергают, указывая, что мысль Гейзенберга о наблюдаемых величинах бессодержательна до тех пор, пока не указано, какие величины принципиально можно измерить, а какие — нет.

Да и утверждение о том, что теория может содержать соотношения лишь между наблюдаемыми, слишком жесткое. Конечно, теория может оперировать величинами, которые не могут быть измерены, однако такие величины либо не должны иметь никакого физического толкования, а если и иметь, то лишь гипотетическое толкование, превращая в последнем случае в гипотезу и всю теорию.

Итак, критика понятия наблюдаемой величины совершенно справедлива но-сущсству, так как словесная игра с неопределяемыми понятиями — это удел философов. Однако и Эйнштейн в 1905 году оказался прав, отказавшись от абсолютных пространства и времени (которые так и не научились измерять), и Гейзенберг в 1925 году оказался прав, принципиально отвергнув представления Бора о разрешенных классических орбитах электронов в атомах: как тогда, так и теперь способа непрерывного «слежения» за микрообъектами не найдено. Иными словами, и Эйнштейн, и Гейзенберг конкретно указали, какие величины они считают ненаблюдаемыми, исключая их из теории. И оба оказались правыми.

Если же какая-то теория оперирует величинами, способ экспериментальной регистрации которых неизвестен по крайней мере в настоящий момент времени, то следует и воспринимать подобную теорию как гипотетическое построение, рассчитанное на будущие открытия, которых вполне может и не быть.

Благодаря Гейзенбергу в физике все же возникло понятие наблюдаемой величины, или просто наблюдаемой, то есть такой физической величины, которая при настоящем уровне развития науки может быть определена в каком-либо эксперименте. Динамическими наблюдаемыми могут быть названы такие физические величины, которые для данного вида микрообъектов могут принимать различные значения.

Так, координаты частицы в определенный момент времени можно считать наблюдаемыми, приравнивая их координатам входного окна детектора, сработавшего в некоторый «момент» времени t. Сужая все сильнее входное окно детектора, а также уменьшая время срабатывания детектора (и уменьшая тем самым вероятность регистрации микрообъекта), можно все более точно определять координаты частицы в небольшом временном интервале, привязанном к моменту времени t. В нерелятивистской квантовой механике ситуация детектирования микрообъекта идеализируется, гак как считается, что координаты микрообъекта могут быть определены с любой степенью точности. На самом же деле существует предел: абсолютная погрешность измерения координаты микрочастицы не может быть меньше ее комптоновской длины волны (см. т. 1, примеч. 134 нас.451).

Импульсы микрообъектов являются наблюдаемыми, так как определяются, например, в дифракционных экспериментах, в которых измеряется де-бройлевская длина волны, однозначно связанная с импульсом частицы соотношением (4.38).

Энергии микрообъектов также являются наблюдаемыми. Например, энергию квазистационарного состояния ?_п, в котором может находиться атом водорода, можно определить так: облучить атом потоком ультрафиолетовых фотонов, энергия которых hv превышает энергию ионизации водорода (13.6 эВ). Тогда возможна фотоионизация атома водорода, а вылетевший электрон будет иметь кинетическую энергию, равную, очевидно, величине hv — ?п. Измерение энергии электрона с помощью какого-либо энергоанализатора в совокупности со знанием энергии фотонов hv и есть измерение ?_п.

К числу наблюдаемых относится и момент импульса частицы, и ряд других физических величин, на чем специально здесь останавливаться не будем. Важно лишь иметь в виду, что каждой наблюдаемой должен сопоставляться способ ее экспериментального измерения, причем для недетерминированных объектов, какими являются микрочастицы, исход единичного измерения определяется лишь вероятностно и беспричинно с философской точки зрения, так как в одном измерении может быть определено одно численное значение для наблюдаемой, в другом измерении в тех же макроскопических условиях — другое.

Вновь возвращаясь к Шрёдингеру, следует отметить, что его потрясающим достижением оказалось то, что он, ставя перед собой задачу вычисления спектра квазистационарных уровней энергии атома водорода, в конце концов пришел к универсальной схеме, позволившей с помощью волновой функции, определяемой уравнением (4.49), предсказывать вероятности исходов любых экспериментов по намерению любых наблюдаемых, а не тол ь ко коорди 11 ат.

Главная идея Шрёдиигера, превратившая временное уравнение Шрёдиигера в стройную теорию (в волновую механику), оказалась очень неожиданной (но при этом весьма простой в понимании). Так как для восприятия идеи Шрёдиигера необходимо минимальное знакомство с теорией операторов, сейчас укажем лишь, что Шрёдингер сопоставил по определенным правилам каждой наблюдаемой линейный эрмитов оператор, собственные значения которого, в частности, и являются спектром наблюдаемой, то есть являются множеством тех возможных значений, которые могут быть зафиксированы при измерении наблюдаемой.

Всего за несколько месяцев теория Шрёдингера захватила умы физиков, поскольку позволила количественно объяснить огромный массив экспериментальных результатов.

Итак, математическим языком волновой механики стали линейные операторы, действующие в гильбертовом пространстве волновых функций.