Общие следствия из основных положений волновой механики

Из четырех основных положений волновой механики чисто математически можно выводить следствия, которые понадобятся для объяснения поведения вещества на атомном уровне. Данный подраздел и посвящен доказательству некоторых необходимых для понимания дальнейшего результатов.

Формула для среднего значения наблюдаемой

Соотношение (4.127) определяет вероятности исходов подходящих экспериментов по измерению значений наблюдаемой /, сопоставляемой оператору F с дискретным спектром, что, в свою очередь, позволяет с помощью формулы (П1.3), выведенной в приложении 1, найти среднее значение наблюдаемой, если система описывается волновой функцией Ф:

Преобразуем последнюю формулу:

где было использовано очевидное свойство скалярного произведения функций [см. формулу (4.50)J: (Ф, Ф) = (Ф, Ф)*. Продолжим цепочку равенств, сначала использовав определение скалярного произведения (4.50), а затем проводя очевидные преобразования:

Поменяв местами суммирование и интегрирование, воспользуемся линейностью оператора F и внесем знак суммы и числа (^_П, Ф) иод знак суммы:

Получившееся выражение в квадратных скобках есть не что иное, как разложение функции Ф в ряд, но собственным функциям оператора F, определяемое формулой (4.112) с коэффициентами (4.113). Следовательно, окончательно получаем выражение для среднего значения наблюдаемой для системы, описываемой волновой функцией Ф:

Последнее выражение гораздо проще, чем первоначальное выражение для среднего (4.135), так как позволяет находить средние значения наблюдаемых, не прибегая ни к оиределению спектра оператора F, ни к разложению волновой функции в ряд, но собственным функциям оператора.

Формула для вычисления среднего наблюдаемой (4.136) была доказана только для наблюдаемых, сопоставленный которым оператор имеет дискретный спектр. Однако оказалось, что формула эта верна и для операторов, имеющих непрерывный спектр. В общем случае это утверждение доказывать не будем, а продемонстрируем его правильность на примере формулы для среднего значения декартовой проекции импульса частицы, для чего прямо начнем с выражения.

где использовано определение оператора, а интегрирование для сокращения записи выполняется лишь по х. Подставив вместо функции Ф в последнем интеграле ее разложение (4.130) по собственным функциям оператора р_х, после дифференцирования по х получим:

Сравнив интеграл, но х с выражением (4.131), убеждаемся, что эго есть c*(p_x, t), что и позволяет получить нужный результат:

где в соответствии с выражением (1.133) величина dw есть вероятность обнаружения проекции импульса р_х микрообъекта в интервале р_х*px^Jrdpx, если волновая функция системы есть Ф (гЛ). Тогда из формулы (П1.6), полученной в приложении 1, получается как раз среднее значение случайной величины р_х. принимающей любые действительные значения.

По формуле (4.137) среднее значение декартовой компоненты импульса можно найти, не прибегая к собственным функциям оператора проекции импульса, нормировка которых носила достаточно произвольный характер. Как доказывается в курсах квантовой механики, формула (4.13G) верна для любых наблюдаемых, которым сопоставлен эрмитов оператор. Покажем лишь еще, что верна она и для оператора координаты:

где dw = |Ф|²сйг есть вероятность обнаружения координаты х микрообъекта в интервале [х, х И- dx], если волновая функция системы есть Ф, и вновь для вычисления среднего была использована формула (П1.6).