Гильбертово пространство волновых функций и линейные операторы

Рассмотрим множество квадратично интегрируемых комплекснозначных волновых функций Ф (г,?). Такое множество в математике обозначают как I?. Множество всех волновых функций становится бесконечномерным гильбертовым пространством, если в нем ввести скалярное произведение функций, а также сопоставить каждой волновой функции норму, являющуюся аналогом длины вектора.

Введем скалярное произведение двух функций (Ф, Ф) как комплексное число

где звездочка означает комплексное сопряжение, а интеграл без указания пределов интегрирования предполагается здесь и далее распространенным на все конфигурационное пространство. Из определения скалярного произведения волновых функций следует, что порядок функций важен, так как первая функция комплексно сопряжена, а вторая — нет.

Если (Ф, Ф) = 0, то говорят, что функции ортогональны.

Неотрицательное действительное число.

называемое нормой функции, аналогично длине обычного вектора, которая гоже может быть вычислена как корень квадратный из скалярного произведения вектора на самого себя. Отметим, что нормой функции, удовлетворяющей условию нормировки (4.46), будет единица.

Существование конечной нормы функции, то есть сходимость интеграла в правой части (4.51) подразумевает, что волновая функция из L² стремится к нулю при удалении на бесконечность, то есть.

Множество волновых функций L² с введенными скалярным произведением (4.50) и нормой (4.51) является гильбертовым щюстранством.

В математике функция определяется как правило, позволяющее однозначно сопоставить элементу из одного множества элемент другого множества. И в гильбертовом пространстве волновых функций можно вводить разные правила, позволяющие сопоставлять одной волновой функции другую. Такие правила называют операторами. Таким образом, оператор является частным случаем функции, отличаясь от функции действительного переменного только областью определения и областью значения, которыми для оператора служит гильбертово пространство волновых функций.

Операторы в квантовой механике обозначаются, как правило, римскими буквами со шляпками. Так, оператор F сопоставляет волновой функции Ф волновую функцию Ф, что записывают в виде равенства

.УЧ Например, единичный оператор I сопоставляет любой волновой функции ее же саму:

>?4.

Нулевой оператор О сопоставляет любой волновой функции волновую функцию, тождественно равную нулю.

Onejximop пространственной инверсии, навиваемый также

V-V.

оператором четности Р изменяет знак всех пространственных аргументов волновой функции, так что.

Оператор G называется линейным, если для любых комплексных чисел ci и С2, а также для любых волновых функций Ф и Ф выполняется равенство.

Нетрудно понять, что единичный оператор I, нулевой опера;

— ,—.

гор О н оператор четности Р являются линейными. Простейши;

ми линейными операторами являются также оператор коорди-

89 ^Л v w.

паты х, действующий по правилу.

и оператор дифференцирования⁰⁰, сопоставляющий дифференцируемой функции ее производную:

Обычно даже без шляпки символ д/дх трактуют как оператор дифференцирования. Соответственно, и символы остальных производных, например, о¹ /дх, д²/дхду можно трактовать в операторном смысле.

Читатель без труда может и сам увеличить список примеров линейных операторов. Далее будут рассматриваться только линейные операторы.

Суммой F + G операторов F и G называется оператор, действие которого на произвольную функцию Ф вычисляется по правилу

Понятно, что складывать можно только операторы одинаковой размерности.

Произведением FG операторов F и G называется оператор, действие которого на произвольную функцию Ф вычисляется по правилу

го есть сначала оператор G действует на функцию Ф, сопоставляя ей некоторую функцию СФ, а затем оператор F действует на функцию (7Ф. Из определения умножения следует, что перемножаемые операторы могут иметь разную размерность^[1][2][3].

Нетрудно понять, что умножение операторов некоммутативно, то есть что порядок действия операторов важен, так как, вообще говоря,

Последнее неравенство показывает, что в общем случае оператор

называемый коммутатором операторов F и (7, не является нулевым оператором.

Вычислим, например, коммутатор оператора координаты х и оператора р_х, называемого оператором проекции импульса частицы па декартову ось х и определяемого соотношением.

Подействовав коммутатором на произвольную волновую функцию Ф (г),.

убеждаемся, что

В то же время коммутатор [F, (7] определенных пар операторов может быть равен нулевому оператору О. В последнем случае говорят, что операторы F и G коммутирующие, или что операторы взаимно коммутативны друг с другом, или что операторы коммутируют. Например, операторы декартовых координат Ху у и z попарно коммутативны друг с другом. Операторы проекций импульса на декартовы оси р_х, р_у и p_z также попарно коммутативны друг с другом. Взаимно коммутативны друг с другом любой оператор F и любая степень этого оператора F, где N — произвольное натуральное число⁹².

Если оператор F сопоставляет волновой функции Ф некоторую функцию Ф = FФ, то комплексно-сопряженный оператор F* определяется с помощью соотношения.

что при необходимости позволяет производить операцию комплексного сопряжения по простому правилу: (F^)* = F*Ф*.

⁹ Докажите коммутативность для всех вышеперечисленных случаев.

Нетрудно показать^[4], что двойное комплексное сопряжение возвращает оператор к первоначальному виду:

Как правило, сопоставляемая линейным оператором F волновой функции Ф функция Ф = FФ не совпадает с самой функцией Ф. Например, оператор производной сопоставляет функции ее производную, обычно не совпадающую с самой функцией. Однако существуют такие функции, для которых имеет место совпадение производной и самой функции. Например, (ехр :г)' = ехр х. Последний пример показывает, что для каждого конкретного линейного оператора F всегда можно сформулировать линейное однородное уравнение, которое позволяет найти такие волновые функции Ф, которые оператор F преобразовывает сами в себя с точностью до постоянного численного множителя /:

где / в общем случае — комплексное число.

Тривиальным решением уравнения (4.62) для любого оператора F и любого комплексного числа / является функция Ф (г) = 0. Последнее есть свойство линейных однородных уравнений.

Если оператор F таков, что при каких-либо значениях / имеются нетривиальные (то есть не равные тождественно нулю) решения уравнения (которые в последнем случае отмечаются индексом /) Ф/(г), то последние называются собственными функциями оператора F, а соответствующие числа / — собственными значениями оператора F. Поэтому уравнение (4.62), называемое также уравнением на собственные значения, более правильно должно записываться в виде.

Множество всех собственных значений оператора называется спектром оператора. При произвольных значениях / линейное однородное уравнение (4.63), вообще говоря, не может иметь нетривиальных решений. Спектры разных операторов сильно отличаются друг от друга.

В качестве простого предварительного примера покажем, что спектр оператора пространственной инверсии состоит всего из двух точек pi, 2 = ±1. Применив к уравнению на собственные значения оператора пространственной инверсии.

вновь оператор Р, получим цепочку равенств.

Из определения (4.54) оператора Р с очевидностью следует, что его последовательное применение дважды не изменяет вида любой функции Ф (г), то есть что Р²Ф (г) = Ф (г). Подставляя последнее соотношение в полученную выше цепочку равенств, получим, что Ф_р(г) = р²Ф_р(г). Так как собственная функция Ф_р(г) не может быть тождественно равна нулю, получаем р² = 1, или Р12 = ±1. При этом каждому собственному значению рр2 оператора Р отвечает бесконечное множество разных собственных функций. Действительно, если pi = 1, то собственная функция должна удовлетворять соотношению Ф (—г) = Ф (г), являющемуся просто определением симметричной относительно инверсии в начале координат функции, каковых существует бесконечное множество. Бели р2 = — 1, то получается определение антисимметричной относительно инверсии в начале координат функции.

Когда, как в только что рассмотренном случае оператора пространственной инверсии, оператор F имеет N ^ 2 линейнонезависимых собственных функций Фу, отвечающих одному и тому же собственному значению /, говорят, что такое собственное значение N-кратно вырождено. Таким образом, оператор пространственной инверсии являет собой пример оператора со спектром, состоящим из двух собственных значений, которые бесконечно вырождены.

Спектр оператора может содержать счетное множество точек, а может быть и непрерывным, совпадая, например, со множеством всех вещественных чисел. Возможны и более сложные случаи, когда спектр состоит из дискретной и непрерывной частей, в чем далее будут случаи убедиться.

Сделанного экскурса в теорию операторов достаточно для продолжения описания вклада Шрёдингера в становление нерелятивистской квантовой механики.

Постепенно станет ясно, каким далеко идущим оказался iiej>- воначальный замысел Шрёдингера, предположившего, что каждой наблюдаемой / должен быть сопоставлен определенный one-

v-v.

ратор F такой, что множество возможных значений, которые могут быть зафиксироваут как результат эксперимента по измерению величины f, совпадает со спектром оператора F. При этом результат эксперимента всегда должен xajxiKmeризоваться волновой функцией, определяемой временным уравнением Шрёдингера (4.49). Если волновая (функция — решение уравнения Шрёдингера — совпадет⁹¹ с собственной (функцией оператора F, то при измерении наблюдаемой будет с вероятностью единица определено значение наблюдаемой, равное /.

Расшифровывая гипотезу Шрёдингера, рассмотрим энергию 8 нерелятивистского микрообъекта как наблюдаемую физическую величину. По замыслу Шрёдингера, энергии должен быть сопоставлен некоторый оператор, который стали называть гамильтонианом и обозначать как /7, спектр которого и должен давать все возможные значения энергии, которые при измерении могут быть зафиксированы у микрообъекта. То же самое относится к импульсу микрообъекта р и ко всем остальным мыслимым наблюдаемым, каждой из которых должен быть сопоставлен свой определенный оператор. В частности, Шрёдингер рассчитывал вычислением получить известный спектр квазистационарных уровней энергии атома водорода, и мы далее увидим, что ему это удалось сделать, хотя для этого и придется как следует поработать.

Весьма нетривиальная гипотеза Шрёдингера, помимо прочего, налагала на спектры операторов, сопоставляемых наблюдаемым, условие вещественности. Действительно, все физические величины, которыми оперирует классическая физика, вещественны.

Оказалось, что достаточным условием того, чтобы спектр оператора был вещественным, является требование, чтобы оператор был эрмитовым, или самосопряженным. Чтобы дать определение эрмитова оператора, предварительно необходимо ввести определение оператора F⁺, сопряженного оператору F. Для этого рассмотрим скалярное произведение двух волновых функций^[5]

Ф и РФ:

Если под знаком скалярного произведения поменять местами функции Фи Ф, то результат, конечно же, изменится. Но можно ввести такой оператор F, что скалярное произведение функций Ф и F^4-Ф совпадет с первоначальным скалярным произведением (с точностью до комплексного сопряжения):

или Итак, если оператору F можно сопоставить такой оператор F⁺, что уравнение (4.65) тождественно удовлетворяется для любых функций Фи Ф, то оператор F⁺ называется сопряженным оператору F.

На первый взгляд может показаться непонятным появление комплексного сопряжения над скалярным произведением в правой части (4.65).

Однако рассмотрение простейшего примера разъясняет суть дела. Найдем, к примеру, сопряженный с оператором декартовой координаты х оператор х⁺, для чего подставим в тождество (4.64) на место оператора F оператор х, действие которого сводится к домножению произвольной функции на координату х:

Внеся знак комплексного сопряжения под интеграл в правой части последнего равенства, очевидно, получим:

Используя определение (4.60) комплексно-сопряженного оператора, продолжаем цепочку равенств:

Сравнивая правую часть (4.68) елевой частью (4.66), убеждаемся, что соотношение (4.66) будет удовлетворяться тождественно при любых функциях Фи Ф, если действие оператора (х^)* на функцию Ф* сведется к домножеиию последней на вещественную координату х. В таком случае оператор (х⁺)* должен совпасть с оператором декартовой координаты х:

Выполнив операцию комплексного сопряжения над левой и правой частями равенства (4.69) и воспользовавшись, с одной стороны, свойством (4.G1) двойного комплексного сопряжения возвращаться к первоначальному оператору, а с другой стороны, очевидным свойством (х = х*) вещественного оператора декартовой координаты, окончательно получим выражение для сопряженного с оператором декартовой координаты х оператора х⁺:

Если читатель еще раз вернется к процедуре нахождения оператора #⁺, но уберет из определения (4.64) комплексное сопряжение в правой части, он обнаружит, что соответствующий оператор подобрать бы не удалось. Иными словами, комплексное сопряжение в правой части (4.64) обеспечивает существование сопряженного оператора.

Таким образом оказалось, что оператор декартовой координаты совпадает со своим сопряженным оператором. Операторы F, обладающие таким же свойством, то есть совпадающие со своим сопряженным оператором (F = F⁺), называются эрмитовыми операторами?*, или самосопряженными операторами.

Спектры эрмитовых операторов являются подмножествами множества вещественных чисел. Последнее элементарно доказывается. Допустим, существует собственное значение / и собственная функция Фу самосопряженного оператора F, так что.

Fty f = /Фу. Воспользовавшись произволом в выборе функций Ф и Ф в определении сопряженного оператора (4.64), положим Ф = Ф, а также учтем, что для эрмитова оператора F⁺ = F. Тогда вместо тождества (4.64) получим другое тождество, в котором фигурирует самосопряженный оператор F и произвольная^[6]

волновая функция Ф:

Подстановка в левую и правую части тождества (4.71) вместо произвольной функции Ф собственной функции Ф/, очевидно, даст равенство.

из которого следует, что в гильбертовом пространстве волновых функций любые собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

Покажем, что введенный выше соотношением (4.58) оператор декартовой компоненты импульса р_х — самосопряженный, для чего найдем сопряженный оператор pj и убедимся, что он совпадает с оператором р_х. Исходя из определения сопряженного оператора (4.G4), преобразуем выражение f Ф*р_жФ dV. Подставим в последнее выражение определение (4.58) оператора р_х, а также раскроем тройной интеграл как повторный:

Да!се произведем интегрирование по частям:

где было учтено, что выражение Ф*Ф = 0, так как функции гильбертова пространства в соответствии с (4.52) на бесконечности обращаются в нуль, а также вновь осуществлен возврат к тройному интегралу.

Следующим шагом поиска сопряженного оператора является использование тождества.

которое становится очевидным при прочтении его справа налево.

Возвращаясь от правой части последнего равенства по цепочке полученных равенств к самому началу, убеждаемся, что.

С другой стороны, сопряженный оператор определяется тождеством.

Сравнивая два последних выражения, убеждаемся в том, что.

то есть что оператор р_х эрмитов, или самосопряженный. Очевидно, что доказательство самосопряженности оператора р_х автоматически переносится и на операторы р_у и p_z.

Вернемся к замыслу Шрёдингера, который сопоставил декартовым координатам х, у, z микрообъекта как принципиально наблюдаемым величинам самосопряженные операторы ж, у, z, ив которых первый был определен выше соотношением (4−66), а остальные определяются аналогично. Декартовым компонентам импульса Px, Py>Pz Шредингер сопоставил самосопряженные операторы декартовых компонент импульса p_x, p_y, p_z> ^из которых первый был определен выше соотношением (4−58), а остальные определяются аналогично.

Наблюдаемым, являющимся функциями координат и импульсов, операторы сопоставляются с помощью известных из классической механики связей между наблюдаемыми таким образом, чтобы образовался самосопряженный оператор^[7]. Так, энергия нерелятивистского микрообъекта ?, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, определяется нерелятивистским соотношением.

где т — масса микрообъекта, а также учтено то, что в общем случае потенциальная энергия может зависеть от времени.

Пользуясь последним соотношением, физически наблюдаемой величине — энергии микрообъекта 8 — сопоставляется оператор энергии, традиционно называемый гамильтонианом микрообъекта //, по следующему правилу:

Как видно, в гамильтониане II потенциальной энергии микрообъекта П(x, y, z, t) был сопоставлен оператор П(x, y, z, t)I по аналогии со сделанным ранее сопоставлением координата х — оператор х = xl.

Нетрудно показать, что оператор энергии нерелятивистского микрообъекта — гамильтониан (4.73) — самосопряженный опе;

ратор .

Подставляя с помощью (4.58) выражения для операторов декартовых проекций импульса в гамильтониан (4.73), получаем, что.

где лапласиан Л = д²/дх² 4- с)²/ду² 4- д² jdz² понимается как оператор.

Сравнение правой части временного уравнения Шрёдингера (4.49) и вида гамильтониана (4.74) показывает, что с помощью гамильтониана микрообъекта правой части временного уравнения Шрёдингера можно придать операторную форму.

В последней форме временное уравнение Шрёдингера не сложнее запомнить, чем второй закон Ныотона! В то же время из вида последнего уравнения следует, что временную эволюцию волновой функции определяет гамильтониан микрообъекта.

Если потенциальная энергия микрообъекта не зависит от времени, то существенно облегчается определение таких волновых функций, которые, удовлетворяя временному уравнению Шрёдингера, одновременно являются собственными функциями оператора энергии, то есть гамильтониана Н.^[8]

Как уже отмечалось выше, если волновая функция совпадает с одной из собственных функций оператора энергии, то измерение энергии микрообъекта с вероятностью единица должно дать одно из собственных значений гамильтониана, определяемое уравнением на собственные значения.

Допустив, что волновая функция являющаяся решением уравнения (4.7G), является одновременно и решением уравнения (4.75), получим, что.

или

Последнее уравнение имеет элементарное решение, определяющее временную эволюцию волновой функции, одновременно удовлетворяющей уравнениям (4.75) и (4.76),.

Как видно, решение (4.78) определяется с точностью до некоторой функции декартовых координат Фе (х, у, z), являющейся просто произвольной константой в общем решении линейного дифференциального уравнения первого порядка относительно времени, каковым является уравнение (4.77).

Однако на самом деле полная волновая функция (4.78) должна удовлетворять временному уравнению Шрёдингера (4.75). Подстановка функции вида (4.78) в уравнение (4.75) после взятия производной, но времени и сокращения в левой и правой частях временной зависимости приводит к уравнению, называемому стационарным уравнением Шредингера^[9]

или, в более компактной форме,.

Как видно из вида решения (4.78), плотность вероятности обнаружения микрообъекта не зависит от времени, когда потенциальная энергия не зависит от времени, а волновая функция является собственной волновой функцией гамильтониана, так как.

Поскольку измерение энергии микрообъекта в последнем случае дает однозначный результат (с вероятностью единица будет найдено одно из собственных значений гамильтониана), то говорят, что волновые функции вида (4.78) описывают «состояние» ⁹⁹ микрообъекта с определенной энергией, а, с другой стороны, вследствие независимости вероятности от времени такие состояния называются стационарными.

• [1] Обратите внимание, что оператор координаты имеет размерность длины, на которую и различаются размерности функций Ф (г) и хФ (г).
• [2] «Оператор дифференцирования имеет размерность обратной длины.
• [3] Докажите, что произведение двух линейных операторов является линейным оператором.
• [4] Покажите это.
• [5] Что происходит при измерении, когда решение временного уравненияШрёдингера не совпадает с собственной функцией оператора F, будет описано далее.
• [6] В честь французского математика Шарля Эрмита (1822−1901), внесшегобольшой вклад в разработку теории операторов.
• [7] Более подробно о сопоставлении наблюдаемым операторов сказанов подразделе 4.3.4.
• [8] См. задачи 4.2—1.4 к настоящей главе.
• [9] Стационарным, то есть независящим от времени, уравнение оказываетсяименно потому, что гамильтониан не зависит от времени, то есть потенциальная энергия микрообъекта Щя. у, z) нс зависит от времени.