Гармонический ток в последовательной цепи

Рассмотрим, как определяются напряжение и мощность на отдельных элементах цепи при прохождении гармонического тока.

Сопротивление. Если ток г = I_mcos ((ot + а), то напряжение на сопротивлении R определяется следующей зависимостью: и =iR = RI_mcos ((ot + а) = = U_mcos ((ot + а), т. е. U_m = RI_mf при этом начальные фазы тока и напряжения совпадают, т. е. сдвиг фаз напряжения и тока равен нулю ф = ф" — ф, — = 0.

Рис. 3.4. Цепь с сопротивлением R:

а — графики тока, напряжения и мощности; б — комплексные амплитуды тока и напряжения на сопротивлении На комплексной плоскости комплексные амплитуды тока и напряжения параллельны (рис. 3.4, б).

Мгновенная мощность (рис. 3.4, а) имеет постоянную составляющую

Постоянная составляющая мгновенной мощности называется активной мощностью:

Она потребляется из сети и преобразуется в тепло.

Индуктивность. Напряжение на индуктивности.

Отметим, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол 90° (фазовый сдвиг _w — ф, = 90°), а амплитуда напряжения связана с током зависимостью.

где X_L = соL — индуктивное сопротивление, Ом.

Рис. 3.5. Цепь с индуктивностью L:

а — графики тока, напряжения и мощности; б — комплексные амплитуды тока и напряжения на индуктивности На комплексной плоскости (рис. 3.5, б) на индуктивности наиряже- • • л ние U_Lm опережает ток I_Jm на угол —, т. е. U_Im = U_Lme ² =усо1/_;н, так как л.. к

е ¹ = cos —ь; sin — = ;.

2 2.

Мгновенная мощность.

не содержит постоянной составляющей, т. е. индуктивность не потребляет активную мощность, но дважды за период потребляет из сети мощность и дважды за период отдает ее в сеть (запасает в магнитном поле, а потом отдает).

Емкость. Напряжение на емкости (рис. 3.6, а) определяется уравнением.

Отметим, что напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол л/2, т. е. фазовый сдвиг ф =.

w — ф, = -к/2, а амплитуды связаны уравне- 1 1.

нием UQ_m = ——1_т = Х_с1_т> ^гД^е Xq = —— — емкостное сопротивление, Ом. соС со С

На комплексной плоскости (рис. 3.6, 6) напряжение на емкости изображается вектором, отстающим от вектора тока на угол к/2, т. е.

_ ?-

U_Cm =U_Cme~^J~² =~jX_ci_m, так как.

Рис. 3.6. Цепь с конденсатором С:

а — графики тока, напряжения и мощности; 6 — комплексные амплитуды тока и напряжения на конденсаторе Мгновенная мощность.

не содержит постоянной составляющей, т. е. емкость, как и индуктивность, не потребляет активную мощность, но дважды за период потребляет из сети, запасая в электрическом поле, и дважды за период отдает в сеть энергию (обменивается энергией с сетью).

Последовательная цепь RLC. Если сопротивление R, индуктивность L и емкость С включены последовательно иод напряжение U (рис. 3.7, а) и ток определяется уравнением i = I_mcostoC, то уравнение напряжений имеет вид.

В комплексной форме это уравнение можно записать так: или, разделив на V2 и перейдя к комплексам,.

где X_L-X_C— реактивное сопротивление цепи; Z = ZeJ^ = R +jX — комплексное сопротивление цепи; Z = ^R² +Х² = y]R² +(X_L —Х_с)² — полное сопротивление цени.

На комплексной плоскости сумма напряжений будет представлена в виде диаграммы (рис. 3.7, б)

Рис. 3.7. Последовательная цепь RLC:

а — схема цепи; б — векторная диаграмма при X_L > Х_с в — векторная диаграмма при Xj < Х_с

Так как напряжения на реактивных элементах направлены встречно, их значения могут оказаться больше напряжения сети, т. е. в последовательной цени при гармоническом токе напряжение на одном из реактивных элементов может оказаться больше суммарного напряжения (сетевого).

Если индуктивное сонротивление_в больше емкостного, т. е. X_L > Xq, то ток I отстает от напряжения сети U на угол ф (рис. 3.7, б)_у и наоборот, при X_L < Х_с ток / опережает напряжение на угол ф (рис. 3.7, в). В первом случае цепь имеет индуктивный характер, во втором — емкостной. Комплексное сопротивление тоже может быть представлено на комплексной плоскости в виде треугольника сопротивлений (рис. 3.8, a) Z = R +jX.

При этом.

В дальнейшем комплексные значения, у которых должен присутствовать сомножитель e^{J (0t}, но непосредственно в уравнениях не нрисутству;

Рис. 3.8. Цепь RLC:

а — треугольник сопротивлений; б — графики тока, напряжения и мощности;

в — треугольник мощностей ет, будем обозначать заглавной буквой с точкой наверху — это обычно токи I или напряжения U> а комплексные значения, не связанные с временем, например комплексные сопротивления, будем обозначать подчеркиванием снизу — Z или Y = —.

Мгновенная мощность в последовательной цепи.

содержит постоянную составляющую Р = coscp и переменную составляющую, которая изменяется с двойной частотой сети (рис. 3.8, б). Постоянную составляющую, или среднее значение мгновенной мощнос;

1 ^Т

ти за период Р = —uidt = Шсos (p называют активной мощностью. Едио ница мощности — ватт (Вт).

Для оценки значения энергии, которая запасается в магнитном и электрическом полях, а затем возвращается в сеть дважды за период, вводят понятие реактивной мощности Q = Wsincp, единицей которой является вар (вар).

Учитывая, что напряжение на активном сопротивлении U_R = IR = = /Zcos (p = t/cos (p, активную мощность можно определять иначе:

Аналогично, напряжение на реактивных элементах U_x = IX = /Zsin cp = = [/sin cp и реактивную мощность можно определить иначе:

Произведение действующих значений напряжения и тока определяет полную мощность S = [//, единицей которой является вольт-ампер (ВА). Полная мощность характеризует предельную мощность установки, которую можно было бы иметь при номинальных токах и напряжении (номинальный ток определяется сечением проводов, а номинальное напряжение особенностями изоляции проводов).

Обычно активная мощность, характеризующая преобразование электрической энергии в тепло или механическую работу, оказывается меньше полной. Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности.

При гармонических токах он равен косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током.

Активная, реактивная и полная мощности образуют треугольник мощностей (рис. 3.8, в). При этом

Пример 3.3.

Катушка индуктивности и конденсатор включены последовательно под переменное напряжение 220 В промышленной частоты (рис. 3.9, а). Определить напряжение на катушке и на конденсаторе, если активное сопротивление катушки R = 10 Ом, индуктивность Ц = 0,1 Гн, емкость С = 50 мкФ.

Решение. Определяем комплексное сопротивление цепи.

где.

Определяем комплекс тока, принимая, что начальная фаза напряжения равна нулю:

Определяем комплекс напряжения на конденсаторе:

Определяем комплекс напряжения на катушке:

Строим векторную диаграмму (рис. 3.9, б), отложив сначала вектор 0* и затем UqИх сумма дает вектор U.

Рис. 3.9. Последовательная цепь RLC:

а — схема цепи; б, в — векторные диаграммы для двух вариантов Возможно иное решение. Определяем полное сопротивление цепи:

Затем определяем действующее значение тока: I = 220/33,8 = 6,5 А. Рассчитываем падения напряжения на активном и реактивных сопротивлениях цепи:

Определяем напряжение на катушке индуктивности:

Векторную диаграмму строим, принимая начальную фазу тока равной нулю (рис. 3.9, «). При этом можно не показывать оси комплексной плоскости, а все векторы напряжений ориентировать относительно тока. Напряжение на активном сопротивлении катушки U_R = 1R проводим пунктиром параллельно току, напряжение на индуктивном сопротивлении катушки U_L проводим также пунктиром перпендикулярно току, так как напряжение U_L опережает ток на 90°. Эти напряжения нельзя измерить — они имеют расчетный характер. Их геометрическая сумма представляет действующее напряжение на катушке Uк — его можно измерить вольтметром. Из конца вектора U/_t проводим вектор U_c перпендикулярно току, но в другую сторону, так как напряжение U_c отстает от тока на 90°. Сумма всех векторов определяет напряжение сети. В предыдущем решении напряжение имело нулевую начальную фазу, а ток опережал напряжение на угол 72,8°. Во втором варианте решения ток имел нулевую начальную фазу, а напряжение отставало от тока па угол ср = -72,8°. Для расчетов необходимо знать их взаимное положение. При этом сдвиг фаз определяют как <�р = ср» — (р, = -72,8°.