Фильтры. 
Основы теории цепей

Четырехполюсник, у которого в определенной полосе частот коэффициент затухания а = 0, называют частотным фильтром. Полосу частот, в которой а = 0 и U =U₂, называют зоной прозрачности фильтра, все остальные частоты образуют зону затухания фильтра. Граничные частоты области прозрачности называют частотами среза со_с.

Применяют низкочастотные фильтры, у которых зона прозрачности в области 0 < со < сое! высокочастотные фильтры, у которых сос < со < °°; полосовые фильтры, у которых со о < со < (я_с> заграждающие фильтры, у которых 0 < со < (Oci и ы_с> < со < °°. Фильтры могут быть разных типов: реактивные, безиндуктивные, активные и другие.

Реактивные фильтры

Определим условия, при которых симметричный четырехполюсник, состоящий из минимального количества реактивных элементов, будет фильтром. Возможны две схемы таких четырехполюсников: Т-образная (рис. 7.10, а) и П-образная (рис. 7.10, б). Обе они могут быть получены путем соединения двух несимметричных четырехполюсников (рис. 7.10, в) той или иной стороной. Чтобы сохранить эту взаимосвязь, параметры сопротивлений заданы соответствующим образом.

Рис. 7.10. Схемы реактивных фильтров:

а — Т-образная; б — П-образная; в — Г-образная Четырехполюсник будет фильтром, если а = 0 для некоторой полосы частот.

Для схемы на рис. 7.10, а Так как.

то при чисто реактивных сопротивлениях Z и Z₂ правая часть уравнения (7.6) является вещественным числом и уравнение (7.6) распадается на два уравнения.

В зоне прозрачности а = 0, shа = 0, cha = 1 из уравнения (7.6, а) по- Z_x

лучим cos6 = 1 + -г=-. Однако cos/? изменяется от -1 до 1, т. е. zZ₂

Это возможно, если сопротивления Z и Z₂ — чисто реактивные и раз;

1 1.

ного характера, т. е. либо Z_x =jL и Z₂ = -j—-, либо, наоборот, Z = -j—;

со С соб и Z₂ =jL. При этом границами зоны прозрачности будут.

Отметим, что отношение — вещественно, отрицательно и изменя;

zZ₂

ется от -2 до 0. В этой зоне прозрачности.

Рассмотрим уравнение (7.6, б), т. е. shasin/? = 0. Это позволит определить коэффициент фазы b и закон изменения коэффициента затухания а в зоне затухания, где а # 0, но тогда sin b = 0. Последнее может быть либо при b = 0, либо при b = ±п. Подставив b = 0 в уравнение (7.6а), получим.

Так как ch а не может быть меньше единицы, а дробь отрицатель;

1Z₂

на, то решение b = 0 не может быть использовано. Остается только одно: в зоне затухания b = ±я. При этом cos b = -1,.

Таким образом, фильтром может быть четырехполюсник, у которого сопротивления Z и Z₂ — чисто реактивные и разных знаков.

b z.

У него в зоне прозрачности а = 0, sin — = —4-, а в зоне затухания b = - 2 ]j 4Z₂

= ±п, ch —=.

2 ]J4 Z₂

Характеристическое сопротивление Т-образного фильтра в соответствии с уравнением (7.5).

а у 11-образного фильтра.

При этом Z_tZ₂ = k² — вещественно, так как Z и Z₂ — реактивные сопро;

Zj.

тивления разных знаков. Выражение 1 + в зоне прозрачности, определяемой уравнениями (7.6), может изменяться от 0 до 1.

Таким образом, характеристическое сопротивление реактивных фильтров в зоне прозрачности является чисто активным сопротивлением и изменяется при изменении частоты в зоне прозрачности у Т-образного фильтра от 0 до к, а у П-образного фильтра — от к до °°.

Низкочастотный фильтр типа к. Для этого типа фильтра необходимо, чтобы коэффициент затухания а = 0 был в полосе частот 0 < со < со_с. Пер;

вое уравнение (7.4) выполняется при со = 0, если Z =jL и Z₂ = -j~pr- При соС₂

f ¹ 1 пг этом на другой границе Z_{ = -4Z₂, или j (o_cL = -4 — -——, или со_г = -.

I ^Lfi

Таким образом, у низкочастотного фильтра продольное сопротивление Zj должно быть индуктивным, а поперечное Z₂ — емкостным.

На рис. 7.11 представлены Ти П-образные схемы низкочастотных фильтров и графики изменения их коэффициентов а и b в зависимости от частоты. Отметим, что характеристические сопротивления Z_c (рис. 7.11, д)

Рис. 7.11. Схемы низкочастотных фильтров:

а — Т-образная; б — П-образная; зависимости от частоты: в — коэффициента затухания; г — коэффициента фазы; д — характеристического сопротивления изменяются в большом диапазоне. Поэтому согласовать нагрузку таких фильтров можно только для одной частоты. Принято считать сопротивление нагрузки Z" = R_u = k> а такие фильтры — фильтрами типа k.

Высокочастотный фильтр типа k. Для этого типа фильтра необходимо, чтобы а было равно 0 при (о_с< со < Первое уравнение (7.4) выпол;

няется при со = °°, если = -j-77 и Z₂ =jL. При этом на другой границе соС? _.

1 «гт~.

Z, = -4Z, или = -4(0_CL₂. Отсюда со_г =.

На рис. 7.12 представлены схемы высокочастотных фильтров и графики изменения их параметров.

Рис. 7.12. Схемы высокочастотных фильтров:

а — Т-образная; б — П-образная; зависимости от частоты: в — коэффициента затухания; г — коэффициента фазы; д — характеристического сопротивления Фильтры типа тп. Фильтры типа k имеют следующие недостатки: коэффициент затухания медленно изменяется вблизи частоты среза, и характеристическое сопротивление значительно изменяется в зоне прозрачности, что не позволяет согласовать нагрузку. Для устранения этих недостатков используют фильтры типа т/г, которые получают из соответствующих фильтров типа /г, добавляя реактивное сопротивление противоположного знака в продольную или поперечную ветвь (рис. 7.13, а) такого значения, чтобы получился резонанс вблизи от частоты среза. В этом случае коэффициент затухания будет резко изменяться сразу за частотой среза, что обеспечит хорошее разделение сигналов вблизи от частоты среза, но при значительном увеличении частоты (удалении от частоты среза) коэффициент затухания начнет уменьшаться (рис. 7.13, б).

При соответствующем значении коэффициента m получается приемлемый закон изменения характеристического сопротивления фильтра, обеспечивающий согласование нагрузки в большом диапазоне частот (рис. 7.13, в).

Рис. 7.13. Низкочастотный фильтр типа m:

а — схема; зависимости от частоты: б — коэффициента затухания; в — характеристического сопротивления Для улучшения свойств фильтры обычно делают комбинированными, содержащими k- и т-фильтры.

Активные фильтры

Известно много различных схем активных резистивно-емкостных фильтров, не содержащих индуктивных элементов.

На рис. 7.14, а приведена схема простейшего низкочастотного фильтра, обеспечивающего передаточную функцию.

1 1.

ГДе G — у С1‘2 ~ г> •.

njCi ^2².

Значительно более высокую стабильность характеристик фильтра при изменении значений параметров, входящих в него элементов, получают при имитации индуктивных элементов обычных LC-фильтров. Имитацию можно выполнить с помощью гираторов с подключенными к ним конденсаторами или с помощью специальных схем. При этом существенное значение имеет наличие или отсутствие заземления у имитированного индуктивного элемента.

Рис. 7.14. Схемы низкочастотных фильтров:

а — активный фильтр; б — LC-фильтр; в — фильтр с гираторами На рис. 7.14, б, в представлены схема-прототип, выполненная на ZC-элементах, и преобразованная схема, содержащая С-элементы и гираторы.