Энергетические процессы в последовательном колебательном контуре

Пусть последовательный колебательный контур настроен на частоту источника энергии, т. е. параметры реактивных элементов контура выбраны таким образом, что резонансная частота контура со₀ совпадает с частотой внешнего воздействия со. Определим мгновенные значения энергии, запасаемой реактивными элементами контура, и энергию, потребляемую им от источника.

В соответствии с определением на резонансной частоте напряжение и ток контура совпадают по фазе (рис. 3.24, а):

а их амплитуды связаны между собой соотношением (3.31). Мгновенное значение энергии, запасаемой в индуктивности, определяется ее током.

а мгновенное значение энергии, запасаемом в емкости, — напряжением емкости (рис. 3.24, б)

Подставляя формулы (3.37), (3.38) в выражения (1.25) и (1.18), получаем.

Зависимости мгновенных значений энергии, запасаемой в реактивных элементах контура, от времени приведены на рис. 3.24, в. Как очевидно из временных диаграмм и выра;

Рис. 3.24. Временны е диаграммы последовательного колебательного контура при со = соо

жений (3.39), энергия, запасаемая в емкости w_c, и энергия, запасаемая в индуктивности w_L, имеют две составляющие: постоянную Ы²/2 и переменную, изменяющуюся во времени по гармоническому закону с частотой 2щ. Переменные составляющие энергий емкости и индуктивности находятся в противофазе так, что максимальным значениям энергии, запасаемой в емкости, соответствуют пулевые значения энергии, запасенной в индуктивности, и наоборот. Несмотря на го, что 10с и го/ являются функциями времени, суммарная энергия, запасенная в реактивных элементах контура, сохраняет постоянное значение:

Емкость и индуктивность контура при резонансе непрерывно обмениваются энергией. Обмен энергией происходит без участия источника энергии: сдвиг фаз между током и напряжением в этом режиме равен нулю, поэтому реактивная мощность, отдаваемая источником, также равна нулю, и обмена энергией между контуром и источником не происходит.

Энергия, потребляемая контуром от источника за промежуток времени, равный периоду внешнего гармонического воздействия Т, определяется сопротивлением потерь контура R:

Из выражения (3.41) следует, что энергия, потребляемая контуром от источника за период времени Т, равна энергии, необратимо теряемой в сопротивлении потерь контура R. В идеальном случае, при отсутствии потерь в контуре (R = 0), энергия, потребляемая контуром от источника, равна нулю, колебательный процесс в таком контуре будет продолжаться неограниченно долго и при отключении контура от источника (т.с. при закорачивании зажимов 1 — 1', см. рис. 3.23). Таким образом, колебательный процесс в контуре без потерь должен иметь незатухающий характер. На практике при отключении контура от источника колебательный процесс в нем затухает, так как при каждом цикле колебаний часть электрической энергии, запасенной в контуре, необратимо преобразуется в другие виды энергии. Если контур с потерями подключить к источнику энергии, то амплитуда колебаний в установившемся режиме будет неизменной, так как потери энергии в контуре компенсируются поступлением энергии от источника, и суммарная энергия, связанная с контуром, сохраняет неизменное значение.

Отношение энергии, запасаемой в реактивных элементах контура, к энергии, потребляемой контуром от источника за период Т,

Принимая во внимание, что при резонансе период внешнего гармонического воздействия Т= 1//о⁼ 2п/щ, получаем.

откуда.

Таким образом, добротность последовательного колебательного контура равна числу 2л, умноженному на отношение энергии, запасаемой в контуре, к энергии, потребляемой контуром за период колебаний. Выражение (3.42) носит общий характер и может применяться для оценки добротности колебательных систем самых различных типов (в том числе и неэлектрических).

При исследовании комплексных частотных характеристик последовательный колебательный контур удобно представлять в виде многополюсника с тремя парами выводов (рис. 3.25, а, б).

Внешнее воздействие на контур обычно задают в виде напряжения U = U_{, приложенного к зажимам 1 — Г, а в качестве отклика цепи рассматривают входной ток цепи i == Д; напряжение на емкости и₂ ?= U₂ или напряжение па индуктивности щ = ГД. Таким образом, последовательный колебательный контур обладает как входными, так и передаточными характеристиками.

В качестве входной характеристики контура будем рассматривать его комплексную входную проводимость в режиме холостого хода на зажимах 2 — 2' и 3 — 3':

а в качестве передаточных характеристик — комплексные коэффициенты передачи контура по напряжению для случаев, когда напряжение снимается с емкости или индуктивности:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рассмотрим ЛЧХ и ФЧХ входной проводимости Y (Jco) последовательного колебательного контура:

Рис. 3.25. К определению входных и передаточных характеристик последовательного колебательного контура.

Представляя УО’со) в показательной форме найдем аналитические выражения.

и построим графики для АЧХ (рис. 3.26, а) и ФЧХ (рис. 3.26, б) входной проводимости контура.

Для удобства объяснений приведем также выражения.

п графики АЧХ и ФЧХ входного сопротивления контура (рис. 3.27).

При выводе выражений (3.48)—(3.50) каждое из слагаемых,.

стоящих в круглых скобках соL—-, умножалось и дели;

соС.

Рис. 3.26. АЧХ (а) и ФЧХ (б) входной проводимости последовательного колебательного контура.

Рис. 3.27. АЧХ (а) и ФЧХ (б) входного сопротивления последовательного колебательного контура

лось на со₀, после чего за скобки выносился общий множитель р = со qL = 1/(сооС) = RQ

Если контур настроен на частоту источника, то мнимые составляющие входного сопротивления емкостих_с= - и индуктивности x_L = щЬ взаимно компенсируются, входное сопротивление контура имеет чисто резистивный характер и минимально по модулю, а полная входная проводимость У (со) достигает максимального значения и равна 1 /R. Векторные диаграммы, соответствующие этому случаю, изображены на рис. 2.20, е. Всякое отклонение частоты внешнего воздействия от резонансной приводит к нарушению баланса между мнимыми составляющими входного сопротивления емкости и индуктивности, что, в свою очередь, вызывает увеличение модуля входного сопротивления Z (со), уменьшение модуля входной проводимости У (со) и отклонение аргумента входной проводимости Э (со) от нулевого значения. Из рис. 3.26 очевидно, что чем выше добротность контура Q, тем более заметно выражен максимум У (со) на резонансной частоте и более резко изменяется Э (со) вблизи со₀ •.

При частоте внешнего воздействия со ниже резонансной мнимая составляющая входного сопротивления емкости по абсолютному значению превышает мнимую составляющую входного сопротивления индуктивности (хс) и входное сопротивление контура имеет резистивно-емкостный характер (-7i/2 < (р < 0). В пределе, при со = 0, входное сопротивление контура имеет чисто емкостный характер (ф = -л/2), полное сопротивление контура z (co) бесконечно велико, а модуль входной проводимости у (со) равен нулю. Векторные диаграммы для со < соо и | Хс > x_L были приведены на рис. 2.20, д.

На частоте выше резонансной (со > со₀) мнимая составляющая входного сопротивления емкости по абсолютному значению меньше мнимой составляющей входного сопротивления индуктивности (хс ^<Xi)_y входное сопротивление контура имеет резистивно-индуктивный характер (0 < ф < п/2). С увеличением частоты аргумент входного сопротивления контура ф (со) стремится к п/2 (аргумент входной проводимости 9(со) стремится к -п/2), модуль входного сопротивления контура Z (co) неограниченно возрастает, а модуль входной проводимости К (со) стремится к нулю (см. рис. 2.20, г).

Комплексные частотные характеристики входной проводимости У (усо), приведенные на рис. 3.26, имеют чисто качественный характер и неудобны для практического использования, так как содержат большое число параметров, причем для каждого сочетания R, Q и со₀ необходимо строить отдельные кривые. Поэтому на практике обычно применяют нормированные входные характеристики, которые позволяют в обобщенной форме построить кривые для всех возможных сочетаний значений параметров. В качестве аргумента нормированных характеристик удобно использовать так называемую обобщенную расстройку.

На резонансной частоте = 0, на частотах ниже резонансной Е, < 0, причем нулевому значению со соответствует Е, = = -оо. Па частотах выше резонансной S, > 0, а при со = °° значение обобщенной расстройки также равно бесконечности.

В ряде случаев в качестве аргумента нормированных частотных характеристик удобно использовать абсолютную расстройку Дсо = со — со₀, относительную расстройку 8 = = (со — со₀)/ооо или нормированную частоту со = со/со₀;

Данные величины достаточно просто выражаются одна через другую:

причем на частотах, близких к резонансной (65 ~ 1), последнее выражение может быть заменено следующим приближенным соотношением:

широко применяемым при решении различных практических задач^[1].

Комплексная входная проводимость Y (Ja>) и ее модуль УХ со) обычно нормируются по значению, которое они принимают на резонансной частоте (У (усо₀) = У (со₀) = 1 /R):

При использовании соотношений (3.51), (3.53) выражения (3.46), (3.48), (3.49) преобразуются к виду.

Рис. 3.28. Нормированные АЧХ (а) и ФЧХ (б) входной проводимости последовательного колебательною контура.

Рис. 3.29. Обобщенные АЧХ (а) и ФЧХ (б) входной проводимости последовательного колебательного контура.

Рис. 3.30. Годограф нормированной комплексной проводимости последовательного колебательного контура

Нормированные АЧХ и ФЧХ входной проводимости последовательного колебательного контура приведены на рис. 3.28 и 3.29 (в последнем случае комплексные частотные характеристики цепи называют обобщенными). Годограф нормированной комплексной входной проводимости последовательного колебательного контура У (Д) имеет вид окружности (рис. 3.30).

Используя входные характеристики, найдем зависимость входного тока контура от частоты. Пусть к зажимам 1 — Г контура (см. рис. 3.23, б) подключен идеальный источник напряжения e (t) = Ё = Ее™*, частота которого изменяется в широких пределах, а действующее значение Е и начальная фаза |j_e, сохраняют неизменное значение. Комплексный ток контура 1 определяется произведением комплексной входной проводимости контура на комплексное действующее значение ЭДС:

Из выражения (3.55) находим действующее значение входного тока контура и его начальную фазу как функции угловой частоты со:

Нормируя ток /[ по его максимальному значению /₀ = E/R, которое достигается при со = <�в₀, ^и> переходя от угловой частоты со к обобщенной расстройке q, окончательно получаем.

Таким образом, зависимость нормированного входного тока контура 1 от частоты совпадает с нормированной АЧХ входной проводимости контура, а зависимость начальной фазы у, от частоты совпадает с нормированной ФЧХ входной проводимости контура, смещенной на у,.

Найдем коэффициент передачи контура по напряжению K_c(ju>) для случая, когда напряжение снимают с емкости (см. рис. 3.25). При холостом ходе на зажимах 2 — 2' и 3 — 3 ток контура I = Y (jto) U, где КО) — комплексная входная проводимость контура, определяемая выражениями (3.46) и (3.47). Выходное напряжение контура.

Подставляя соотношение (3.57) в выражение (3.44), получаем выражение для коэффициента передачи контура по напряжению.

Умножая числитель и знаменатель выражения (3.58) на со₀ и используя соотношения (3.33), (3.53), преобразуем выражение (3.58) к виду.

откуда можно определить модуль (рис. 3.31, а) и аргумент (рис. 3.31, б) комплексного коэффициента передачи цепи, но напряжению:

где К (со), 3(ю) — нормированные АЧХ и ФЧХ входной проводимости последовательного колебательного контура, определяемые выражениями (3.54).

Рис. 331. АЧХ (а) и ФЧХ (б) коэффициента передачи последовательного колебательного контура по напряжению

Используя аналогичный подход, находим модуль (рис. 3.31, а) и аргумент (рис. 3.31,6) комплексного коэффициента передачи цепи, но напряжению для случая, когда напряжение снимают с индуктивности:

где.

Как следует из определения добротности, на резонансной частоте (со = соо) действующее значение напряжения емкости равно действующему значению напряжения индуктивности и в Q раз превышает напряжение на входе контура, поэтому К/ (со₀) = К_с(со₀) = Q. При со = 0 сопротивление емкости бесконечно велико, напряжение на емкости U2= 0, напряжение на индуктивности равно нулю. Поэтому K_L{со = 0) = 0, К_с((й = 0) = 1.

Па высоких частотах (со —*• °°) сопротивление^индуктивности бесконечно велико, поэтому напряжение й оказывается практически полностью приложенным к индуктивности, а напряжение на емкости равно нулю. Таким образом, K_L( со = оо)= 1,/С_с(со = оо) = 0.

Максимум кривой К_с(со) соответствует частоте, несколько более низкой, а максимум кривой К/(со) — частоте, несколько более высокой, чем резонансная. Однако эти смещения максимумов К_с(со) и K_L(со) относительно резонансной частоты очень малы и на практике ими можно пренебречь. Действительно, исследуя кривые К_с(со) и K_L(со) на экстремум, легко установить, что функция Kq (со) имеет максимум на частоте.

а функция К[(со) — на частоте.

Подставляя формулы (3.61) и (3.62) в выражения (3.59) и (3.60), находим, что максимальные значения обеих функций одинаковы:

Анализируя выражения (3.61)—(3.63), нетрудно прийти к заключению, что при Q > 5 отличие частот, соответствующих амплитудному критерию резонанса co_L и со_с от со₀, ^не превышает 0,01 со₀, а К_тах — Q < 0,005Q, поэтому во всех практически важных случаях можно считать, что функции К_с(со) и /С/(со) имеют максимум на резонансной частоте, причем K_max= Q. Следовательно, в случае высокой добротности резонансные частоты, соответствующие амплитудному и фазовому критериям резонанса, совпадают.

На рис. 3.31, а, который носит чисто качественный характер, смещение кривых К/(со) и К_с(со) относительно друг друга преувеличено с тем, чтобы показать, что максимумы кривых K_L(со) и К_с(со) находятся на разных частотах. В действительности в узком диапазоне частот, близких к резонансной, когда можно положить co/coq ~ 1, эти зависимости почти совпадают друг^ другом и с зависимостью QY (со), т. е. 7С_Л(со)^Х_с(со)^(2У (со):

Если к входу последовательного колебательного контура подключить источник напряжения e (t) == Е = ?V^y<*, частота со которого изменяется в широких пределах, а действующее значение Е и начальная фаза _e сохраняют неизменные значения, то зависимость нормированного выходного напряжения U от частоты при Q > 5 будет совпадать с нормированной АЧХ входной проводимости контура:

Напомним, что такой же вид имеет зависимость нормированного входного тока контура 1 от частоты со (3.56).

Таким образом, нормированную входную проводимость контура Т (со) можно рассматривать как нормированную реакцию последовательного колебательного контура на воздействие источника ЭДС с изменяющейся частотой и неизменной амплитудой в режиме холостого хода на зажимах 2 - 2' и 3 — 3'.

• [1] При |8| < 0,1 погрешность приближенного выражения (3.52) не превышает ±10%.