Математическая модель электрических контактов

Рассмотрим протекание тока через электрический контакт с одним а-пятном (рис. 5.6). Если на некотором удалении от а-пятна линии тока параллельны друг другу, то в непосредственной близости от него они искривляются и «стягиваются» к а-пятну (см. работы [1] и [2]). Область электрического контакта, где линии тока искривляются, стягиваясь к а-пятну, называется областью стягивания (или иногда областью растекания).

Рис. 5.6. Стягивание линий тока к а-пятну.

В областях стягивания поперечное сечение проводника используется не полностью для протекания электрического тока. Поперечное сечение трубок тока при приближении к а-пятну уменьшается, что и вызывает увеличение сопротивления по сравнению с сопротивлением однородного проводника. Это дополнительное сопротивление, обусловленное уменьшением поперечного сечения трубок тока вблизи а-пятна, называется сопротивлением стягивания.

Явления, имеющие место в области стягивания, могут быть описаны на основе упрощенной модели.

Математическая модель электрических контактов, предложенная в начале XX в. Р. Хольмом и используемая по настоящее время, основана на следующих допущениях:

• — контактные элементы однородны, выполнены из одного материала и их размер в направлении, перпендикулярном плоскости контакта, бесконечен;
• — удельное сопротивление материала контактов не зависит от температуры и протекающего тока;
• — контактная поверхность (а-пятно) представляет собой круглую плоскую площадку, совершенно чистую, без посторонних слоев и пленок. Причем радиус площадки а значительно меньше радиуса кажущейся контактной поверхности (теоретически размер контакта в плоскости а-пятна бесконечен);
• — линии тока расположены на гиперболоидах вращения, а эквипотенциальные поверхности представляют собой эллипсоиды вращения.

Сопротивление, обусловленное стягиванием линий тока, можно найти, используя аналогию поля токов в контакте и электростатического поля заряженного диска. Для этого сначала установим связь между значением электрического сопротивления в однородном изотропном проводнике и значением емкости поля плоского конденсатора.

На расстоянии cl в проводнике тока выделим две параллельные площадки AS (рис. 5.7, а). Электрическое сопротивление выделенного параллелепипеда с основанием AS и высотой d при известном удельном сопротивлении р определяется известной формулой.

Вместе с тем, в электрическом однородном поле емкость плоского конденсатора той же конфигурации, что и выделенный параллелепипед, равна.

где е_г — относительная диэлектрическая проницаемость среды; е₀ — электрическая постоянная^[1]. Тогда формально имеем.

Выражение (5.3) является общим условием для подобных полей электрического тока проводимости и потока вектора напряженности электростатического поля. Это соотношение часто применяется для вычисления входящих в него величин, например сопротивления стягивания рассматриваемой модели контакта.

Половина электростатического поля отдельно взятого заряженного диска радиуса а аналогична половине поля токов модели контакта (рис. 5.7, б). В нашем случае аналогичны нижние половины полей.

Рис. 5.7. К вопросу о подобии полей:

а — элементарный параллелепипед в равномерном поле тока и плоский конденсатор; б — поле токов модели контакта и поле заряженного диска Как известно, емкость диска радиуса а равна С = 8г_гг₀а и емкость половины диска равна С_½ =4г,.г₀а (см. работы [1| и |2|). Тогда, используя последнее выражение и общее соотношение (5.3), для сопротивления половины области стягивания R_cX,₂ получаем R_c i/2¹/2 ⁼ К,/2^/кЕг^Ео^{а =} Из этого следует, что сопротивление половины области стягивания равно R_{c ½} = р/4а, а электрическое сопротивление всей области стягивания контакта равно удвоенному значению, т. е.

Последняя формула называется формулой Хольма.

Формула Хольма позволяет обнаружить функциональную связь сопротивления контакта с силой сжатия контактирующих тел, поскольку радиус контактной площадки а существенно зависит от силы сжатия соприкасающихся поверхностей. Этот радиус определяется характером деформаций, возникающих при сжатии тел. Если в месте соприкосновения деформации носят упругий характер, то радиус возникающей площадки целиком определяется формой соприкасающихся поверхностей, силой сжатия и модулем упругости материала этих тел. При упругих деформациях радиус круглой площадки определяется из выражения (см. работу [1]), называемого формулой Герца.

где Р — усилие сжатия тел; Е — модуль упругости материала контактов; г — радиус кривизны сферической поверхности контакт-детали. При соприкосновении сферической и плоской поверхностей коэффициент т = 1,11, а при соприкосновении двух сферических поверхностей т = 0,9.

Если деформации пластические, то.

где о_см — временное сопротивление смятия материала контактов.

Вопросы практики Поскольку сопротивление контакта может существенно зависеть от наличия посторонних пленок, для оценки сопротивления контактов часто используют эмпирические зависимости. Одна из них имеет вид R_K = К₀/(0,Н)2Р)^Ь, где К₀ — коэффициент, зависящий от материала, из которого изготовлены контакты; b — показатель степени, изменяющийся в пределах от 0,3 до 0,8; Р — усилие, задаваемое в ныотонах. Коэффициент К₀ имеет размерность [мкОм • кГ^Л]. При использовании этой формулы размерность сопротивления выражается в [мкОм]. Числовые значения коэффициента К₀ меняются в очень широких пределах и равны 60 для серебра, 400 — для меди и 4000 — для алюминия. Эти значения показывают, насколько плох в эксплуатации контакт алюминиевых проводников, с одной стороны, а с другой — определяют преимущества серебра как контактного материала.

• [1] Определение и числовое значение даны в параграфе 7.1.