Типы волн в волноводе. 
Прямоугольный волновод. 
Решение для Н-волны

Процесс распространения электромагнитных волн в полости прямоугольного волновода будем рассматривать, полагая, что его стенки выполнены из сверхпроводящего материала (у->оо). При этом условии напряженность электрического поля на стенкахволновода будет равна нулю (плотность тока на стенках волновода 6 = у? конечна, поэтому при у -> оо Е -> 0).

Полость волновода заполнена диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого е_а. Оси координат расположим в соответствии с рис. 26.3, а. Размеры полости волновода в направлении оси х обозначим буквой а, а в направлении оси у — буквой Ь.

Длина волновода в направлении оси z неограничена. Электромагнитное поле в волноводе описывается уравнением (24.3):

V² Н + со² е_а ц_а Н = 0 или аналогичным ему уравнением V²? + со² е_а р_а? = 0.

Распространяющиеся в волноводе электромагнитные волны являются волнами, бегущими вдоль оси волновода (оси z) и стоячими в двух остальных направлениях. Стоячие волны в направлении х и у образуются вследствие многократных отражений волн от стенок волновода.

Тот факт, что волны являются бегущими вдоль оси z, в формально математическом отношении находит свое выражение в том, что при записи каждой из составляющих волн (подобно бегущим волнам в линии с распределенными параметрами) используется множитель е" ^pZ, где к_р — коэффициент распространения.

Волны, распространяющиеся в волноводах, разделяют на два типа: Н- волны и ?-волны, //-волну называют также поперечно-электрической и обозначают ТЕ; ?-волну — поперечно-магнитной и обозначают ТМ.

Кроме волн Я и? могут быть еще волны ТЕМ. Они возникают в коаксиальном кабеле (не в волноводе) и полосковой линии. В волне ТЕМ векторы? и Я лежат в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Структура //-волны такова, что составляющую вдоль оси волновода имеет только напряженность магнитного поля, а напряженность электрического поля расположена в плоскости, перпендикулярной оси волновода, т. е. для //-волны.

Для ?-волны наблюдается обратная картина: составляющую вдоль оси волновода имеет только напряженность электрического поля, а векторы напряженности магнитного поля расположены в плоскостях, перпендикулярных оси волновода, т. е. для ?-волны.

Какой из этих типов волн возникает, зависит от условий возбуждения и геометрических размеров поперечного сечения волновода. Если возбуждение производить с помощью штырька (см. рис. 26.1, а), то в волноводе возникнут Я-волны. При возбуждении с помощью петли с током, расположенной вблизи узкой стенки волновода в соответствии с рис. 26.1, б, в последнем возникают также Я-волны. Для ?-волны штырек следует направить вдоль оси z.

Приводимые далее выкладки проделаны для Я-волны, но они будут почти такими же и для ?-волны. Если подставить (26.1) в уравнение (24.3), то последнее разобьется на три уравнения для проекций. Для проекции на ось z будем иметь.

Воспользуемся методом разделения переменных, который рассмотрен в § 19.39. С этой целью положим.

где X — функция только х Y — функция только у. Множитель е" ^{р 2} свидетельствует о том, что вдоль оси z движется бегущая волна.

Подставим (26.3) в (26.2):

Обозначим.

и разделим (26.3а) на X Y е'¹*⁹'. Получим.

_ д, «1 д^гХ 1 д²У

Сумма двух функций—— и—г-, из которых одна является.

X дх² У ду²

функцией только х, а другая — у, может равняться постоянному числу -к² только тогда, когда каждая из этих функций есть постоянное число. Перейдем от частных производных к обыкновенным и положим:

где p и q — некоторые постоянные числа.

Решением уравнений (26.5а) и (26.56) являются функции.

где С, q и С₂, у/— постоянные интегрирования, которые найдем из граничных условий. Таким образом, в соответствии с (26.3).

Здесь комплексная амплитуда Н_т = С_Х С₂.

Для определения значений р, q_y ф, у обратимся к первому и второму уравнениям Максвелла, записанным через проекции напряженностей на оси координат:

В силу того, что для Я-волны E_z = 0, и поскольку волны являются бегущими вдоль оси z, то дЁ_у /дг = -к_р Ё_у> а дЁ_х /дг = -к_р Ё_х.

Из уравнений (26.10) и (26.11) следует, что.

Как уже говорилось, на внутренних поверхностях стенок волновода напряженность электрического поля равна нулю. Следовательно, Е_х = О при у = 0 и у = 6, а Е_у = 0 при х = 0 и х = а. Если это учесть, то из уравнений (26.13) имеем = Н _у^ и Н_ххш0 = Н_ххтд = 0.

Так как дН_y/dz = -k Н_у, dH_x/dz = -k_p Н_х, а Н_у=0 при у = 0 и у-Ь и Н_х =0 при д: = 0 и х = а, то из (26.7) и (26.8) следует:

Уравнения (26.14), (26.15) служат для определения значений р, q, ip, |/.

Подставив (26.6) в (26.14), найдем «у = я/2, q-rnilb. Из (26.15) определим <�р = я/2 и р = тп/а, где от и л—целые числа; от равно числу полуволн электромагнитной волны, которое разместится по ширине волновода; п показывает, сколько полуволн разместится по высоте волновода. Таким образом,.

Найдем теперь Н_х, Н_у и Ё_х, Ё_у. Для определения Е_х в уравнено Ех

нии (26.7) dH_vldz заменим на -к. H_v =~к" —-.

_т ^Р j «Р.

Тогда Отсюда.

где.

Аналогично.

Проанализируем полученные результаты. Коэффициент к_р играет роль постоянной распространения электромагнитной волны вдоль оси г. Если к_р будет действительным числом, то волна при своем продвижении по волноводу будет затухать. Затухание будет отсутствовать, если к_р — мнимое число.

Для того чтобы связать к_р с геометрическими размерами волновода а и Ь и числами тип, подставим (26.16) в (26.2). Получим.

• Но *² =*р + со² е_а р_а. Поэтому.

Отсюда следует, что к_р =-Jк² — со² е_а ц_а.

Угловую частоту, при которой к_р — 0 называют критической угловой частотой со^.

Если е_г=р_г=1, то со² е₀ р₀ =(co/v_c)², где v_c— скорость света в свободном пространстве. В этом случае Л:_р можно записать так:

к_р = >/*² ~(co/v_c)², а со^ = 2 л / = к v_c. Ей соответствует частота.

и критическая длина волны.

Если угловая частота возбудителя колебаний (тока в стерженьке или петле рис. 26.1) со = 2 nf будет больше со^, то *_р=ур =.

= yV (w/v_c)² -к² оказывается числом мнимым. Поскольку рабочая частота />/, ф, то длина волны в свободном пространстве Х_с =v_c// меньше критической длины волны в волноводе Х^ = v_cl

Числа тип могут принимать целые значения, но не могут равняться нулю одновременно, так как тогда все составляющие Е и Н отсутствовали бы. Наибольшее значение имеет волна т = 1 и п — 0 (волна Я₁₀), для нее по ширине волновода укладывается одна полуволна, а по его высоте интенсивность поля не изменяется.

В качестве примера определим со^ при, а = 7,2 см по формуле (26.21а) для волны Я,₀. Она равна 13 -10⁹ рад/с. Таким образом по волноводу может распространяться энергия лишь весьма высокой частоты. Амплитуда максимальной напряженности электрического поля Е_т должна быть меньше пробивной напряженности поля, иначе произойдет пробой диэлектрика (воздуха, газа или какого-либо другого диэлектрика).

При любом способе возбуждения волновода вблизи возбудителя может возникать несколько различных типов волн. Для устранения на некотором расстоянии от излучателя высших типов волн, размеры а и b выбирают так, чтобы для низшего типа волн, например Я₁₀, при выбранной со значение коэффициента распространения А_р являлось мнимым числом, а для ближайшего высшего типа волн, например Я₂₀ или Я_и, к_р являлось числом действительным. В зависимости от длины волны Х_с размеры а и Ь берут равными а «(0,7…0,8) Х_с и 6* (0,3…0,4)Х_С. Размеры а и b стандартизованы.

Под картиной поля в полости волновода понимают совокупность линий? и линий Я для выбранного типа поля. Картину поля строят либо в нескольких ортогональных плоскостях (см., например, рис. 26.3, а и б или рис. 26.6, а), либо объемную (например, рис. 26.6, б). Сначала целесообразно строить картину поля в плоскости хОу, так как у //-поля вектор? расположен в плоскости хОу и имеет либо только одну, либо две проекции (в зависимости от типа волны), а у ?-поля вектор Я в этой плоскости имеет тоже либо одну, либо две проекции. В плоскости хОу проекции линий Я и линий? пересекаются друг с другом под прямым углом (см. например рис. 26.6, а). Картина поля для волны Я_|0 изображена на рис. 26.3, а и б. Токи смещения в полости волновода переходят в токи проводимости по его стенкам (см. рис. 26.4, а). При проводимости у

Рис. 26.4.

стенок волновода, стремящейся к бесконечности, напряженность поля Е на стенках волновода стремится к нулю, но плотность тока 5 = у Е конечна. В действительности у имеет конечное значение (это будет далее учтено при определении потерь в стенках от протекающего по ним тока проводимости).

Для измерительных целей в стенках волновода делают щели (прорези), располагая их так, чтобы они не препятствовали протеканию по ним токов проводимости.

Щель в стенке волновода используют также для излучения волн из возбужденного волновода в окружающее пространство.

Пусть в волноводе возбуждена волна типа М₁₀. Поле в волноводе изображено на рис. 26.3. 6, эскиз волновода— на рис. 26.4, 6. Воздушная щель размером ax Ь расположена вдоль узкой стенки волновода. Отдельно щель изображена на рис. 26.4, в. Напряженность магнитного поля Н = Н_х направлена вдоль щели. Вдоль щели по воздуху проходит магнитный ток смещения.

Поверхность, через которую течет магнитный ток смещения, равна произведению, а Л. Этот ток можно рассматривать как производную по времени от магнитного заряда Q_m e^J ®' на боковых стенках щели, т. е. как jm. Отсюда комплексная амплитуда магнитного заряда Q_m = -Цо а Д Н_х В • с.

Магнитный момент щели равен P_u-bQ_u- -Но о b Д Н_х и направлен встречно Н_х. Единица измерения Р_ы равна В • с • м.

Поле, излучаемое щелью в окружающее пространство, определим как поле магнитного диполя (оно рассмотрено в § 25.8).

Так как в воздухе Н_х = ?_e/Z_B, a Z, = Vno^^eo" т° Д, Но Магнитный момент пропорционален магнитному напряжению на щели а Е_ш.