Параметры струи на начальном участке

Теперь рассмотрим, как можно определить параметры газового потока в самой струе, необходимые для расчета газодинамических нагрузок на корпус ЛА.

Течение вблизи среза сопла. Область течения ограничена выходным сечением сопла и первой характеристикой АВ, сходящей с её кромки (рис. 40).

Полагаем, что здесь реализуется течение от пространственного источника, центр которого (точка 0) находится на пересечении с осью струи луча, проходящего через кромку сопла и наклонённого под углом, равным углу полураствора сопла в его выходном сечении. Тогда, если через R обозначить расстояние от центра источника до данной точки М, число Маха и другие параметры в ней определяются как.

скорость, отнесенная к скорости в критическом сечении сопла, плотность давление.

где индексом * помечены соответствующие значения в критическом сечении сопла. Если сопло профилированное, то за исходные необходимо принимать параметры потока на срезе сопла, а не в критическом сечении, и тогда формула (5.12), например, примет вид.

или.

Если вес линейные размеры относить к радиусу выходного сечения сопла, то из рассмотрения геометрии течения (см. рис. 40) следует, что.

Тогда для определения координаты х_в, в которой первая характеристика, сходящая с кромки сопла (рис. 41), пересечет его ось, получается такая зависимость:

где число Маха М_й в этой точке определяется равенством.

При, а = 0 характеристика ЛВ — прямая линия, наклоненная к продолжению сопла в точке А под углом.

В общем же случае, когда, а * 0, она изогнута, а способ построения сс ясен из рис. 40.

При очень больших значениях числа Маха на срезе сопла значение v (Mg) может превышать максимальный угол поворота в волне Прандтля-Майера v_max и первая характеристика не пересекает ось, асимтотически приближаясь к одной из линий тока источника, наклонённой к оси под углом.

Все линии тока внутри этого угла не подвержены воздействию разворота потока на кромке сопла, а течение от источника будет существовать на всей оси до бесконечности. Максимальный угол равен:

Распределение чисел Маха вдоль оси струи. На больших расстояниях от выходного сечения сопла в струе реализуется течение от источника с полюсом, расположенным в центре среза сопла, но с различной интенсивностью на различных линиях тока.

Анализ опубликованных в литературе данных показывает, что линии тока можно считать прямолинейными уже начиная с расстояний *>10 радиусов выходного сечения сопла. В результате численных расчетов установлено, что интенсивность источника зависит также и от продольной координаты R. Отношение нлотности газа на оси симметрии к плотности в выходном сечении сопла можно определять по формуле [9].

где.

Для аппроксимации чисел Маха на оси симметрии можно также пользоваться следующей зависимостью, в которой произведена стыковка с числом в точке пересечения первой характеристики (АВ на рис. 40) с осью струи [10]:

где.

0_max ^_ максимальный угол поворота потока при расширении в пустоту, равный:

а функция Пранд гля-Маейера.

На основании расчетов по методу характеристик в fl 1] предложена зависимость.

где А = 3,35 — 4,5(0,426 М_а — 1)(0,834Л -1), которой рекомендуется пользоваться в диапазоне к = 1,2 ч-1,4 и чисел Маха М" > 2. В интервале 0 < х < 20 в [ 12] предлагается пользоваться зависимостью.

в которой, а = 3,56+ 0,0к⁴'⁷⁷*; 6 = 1 + 0,024е³'⁹*; с = 1,7 + 0,019е⁴'³*.

Область свободного расширения. Эта область (см. рис. 41) ограничена висячим скачком уплотнения 2, первой характеристикой АВ, сходящей с кромки сопла, и её отражением от оси симметрии В К.

Следуя Э. А. Ашратову, для определения значений чисел Маха в области свободного расширения запишем уравнения характеристик второго семейства в переменных Элерса-Чушкина:

где ?, = tg& p = VM² -1; к =-; 9 — угол наклона вектора.

к +1.

скорости к оси х, совпадающей с осью симметрии сопла.

Если принять, что характеристики, описываемые уравнениями (5.33) и (5.34), прямолинейные, т. е.

то после дифференцирования обеих частей (5.35) получим.

и тогда уравнение характеристик (5.34) преобразуется к виду.

Так как числа Маха в этой области велики и векторы скорости потока имеют большой угол наклона к оси струи, то из (5.37) получим.

Проинтегрировав (5.38), установим зависимость для определения чисел Маха во всей области свободного расширения:

где индексом «0» отмечены значения параметров у кромки сопла.

на соответствующей характеристике; р₀ ⁼ arcsin-.

М₀

Число Маха изменяется в диапазоне М" <�М₀ < М_7/, причем М₀, например, на первой характеристике, сходящей с кромки сопла, равно М".

Так как параметры потока определяются во всей области по числу Маха (параметры заторможенного газа равны соответствующим значениям в камере), то нетрудно построить численно отражение ВК первой характеристики от оси симметрии и тем самым построить одну из границ области (рис. 42).

Порядок построения характеристики следующий. Задавшись рядом значений Й₀, определим числа Маха М₀, в точке А у кромки сопла по (5.41) и соответствующие им значения углов р₀,. Проводим из точки А характеристики второго семейства под углами (Э_0| — р_0;) ^к оси сопла. Из точки В под углом р _в к оси проводим элемент искомой характеристики второго семейства, выходящей из точки А. Определяем координаты у и х точки К и число Маха в ней. В последнем случае используются уравнения (5.39) и (5.40).

Изложенная схема вычислений повторяется до пересечения характеристики ВК с висячим скачком уплотнения или, но достижении заданного сечения. Расчет удобно сопровождать графическими построениями.

Для расчета параметров в области свободного расширения можно считать, что линии тока плоского течения ПрандтляМайера и осесимметричного совпадают, причем в распределении чисел Маха вдоль линии тока вносится поправка на осесимметричноегь. Подробный анализ этого допущения показал, что оно выполняется вблизи кромки сопла и приводит к существенным расхождениям с расчетами, но методу характеристик вдали от сопла. При малых недорасширениях струи (/К 10), когда область свободного расширения невелика, этот метод, подробно описанный в [13], может быть также использован, и удобство его в том, что он менее трудоемок.

На радиальных расстояниях от центра выходного сечения сопла R > (10-^20)г_а, на которых скорость газового потока близка к максимальной термодинамической скорости w_max, предлагается следующее аналитическое выражение для плотности в зависимости от R и его угла наклона к оси симметрии $ [14]:

где звездочкой отмечены параметры в критическом сечении сопла.

. * .a* k-1.

(г — его радиус);-= J-; а константа.

w_max U + 1.

Распределение интенсивности источника по углу S определяется так [15]:

ИЛИ причем на оси симметрии.

где к = ^^а 1 + —Ц-, X, — коэффициент скорости (X² = ———^). Кы{ кы²_а) 2 + (к-)Ы²

Для дальней области струи, где скорость газа можно принять равной максимальной, отношение плотностей равно:

где к = к (к-)М²_а.

В последующих формулах плотность отнесена к своему значению на оси симметрии. Отношение плотностей можно определять как.

где угол Ф, в радианах, определяется из нижеследующей таблицы в зависимости от показателя адиабаты: