Весовая функция многомерного объекта

Рассмотрим динамическую систему с г входами щ, м₂,.. ., и_г и т выходами у_1у у_2У.. ., у_т. Очевидно, каждый выход у, (t) связан с j-м входом Uj (t) соответствующей весовой функцией K.j (t_y т). Элементы (/, х) образуют матрицу весовых функций (или весовую матрицу системы) размером (тХг)

которая связывает вектор выхода у (I) с вектором входа и (/) соотношением свертки, аналогичным (5.7):

г

Элемент K_ij (?, т) весовой матрицы (5.31) определяется как значение отклика системы на i-м выходе в момент t при подаче на ;-й вход единичного импульса в момент т при условии, что остальные входные сигналы равны нулю.

Определим явную форму выражения весовой матрицы К (/, т) для двух случаев: линейной стационарной системы и линейной нестационарной системы.

Линейная стационарная система. Каноническая (нормальная) форма уравнений состояния имеет вид.

где А, В, С, D — матрицы с постоянными элементами, определенные выше (см. § 5.1); х — вектор состояний, состоящий из п переменных состояния x_lt т₂,.. х_п.

Введем понятие переходной матрицы состояния (или матрицы перехода) динамической системы, которая определяет решение однородной системы уравнений.

при начальном условии.

Решением задачи (5.34)—(5.35) является.

где ехр [А (/— т)1 — матричная экспонента. Заметим, что.

Матрицу К_х (t, т)=ехр [А (/— х], представляющую фундаментальную матрицу решений системы (5.34), принято называть переходной матрицей состояния динамической системы. Переходная матрица состояния «описывает» траекторию конца вектора х в л-мерном пространстве состоянии при свободном (невозмущенном) движении системы из начального положения х (т).

Располагая матрицей К_х (t—т), нетрудно получить решение исходной системы уравнений (5.33). Для этого можно воспользоваться, например, методом вариации произвольных постоянных. Ищем частное решение неоднородного уравнения в виде.

где, а (0 — матрица варьируемых констант. Тогда общее решение равно.

или

где.

Составим уравнение для нахождения вектора z (t). Для этого подставим выражение (5.37) для z (t) в первое из уравнений (5.33); в результате получим.

Решение уравнения (5.38) примет вид.

Сравнивая выражения (5.39) и (5.36), можно записать откуда.

При переходе от выражения (5.40) к (5.41) используются характерные свойства переходной матрицы состояния:

Подставляя выражение (5.41) для х (/) во второе уравнение (5.33), будем иметь.

Для получения явной формы весовой матрицы системы представим решение (5.42) в форме интеграла свертки (5.32):

откуда видно, что весовая матрица многомерной стационарной системы (5.32) может быть записана в виде.

где 8 — матричная 8-функция Дирака.

Линейная нестационарная система. Каноническая форма уравнений состояния имеет вид.

В этом случае решение соответствующего однородного уравнения при начальном условии х (t) = х (т) запишется в виде.

Если для матрицы A (t) выполнено условие коммутативности при любых t_L и t₂y то матрица перехода определяется выражением.

В общем случае (когда условие (5.45) не выполнено) в основу определения матрицы перехода К_я (t, т) может быть положен метод последовательных приближений решения интегрального уравнения Вольтерра:

эквивалентного исходному однородному дифференциальному уравнению (5.44). Первая итерация приводит к соотношению.

Продолжая процедуру последовательных приближений, получим выражение для х (*) в виде ряда.

t.

где ] — оператор интегрирования / () = J () dk. Сумма ряда т.

(в случае его абсолютной и равномерной сходимости) представляет собой квадратную матрицу М (А) и называется матрицалтом, основным свойством которого (как следует из вышеизложенного) является.

Таким образом, в общем случае матрицей перехода нестационарной системы служит ее матрицант.

который при постоянной матрице, А становится переходной матрицей состояний соответствующей стационарной динамической системы.

Для нахождения общего решения системы уравнений (5.43) воспользуемся методом сопряженной системы [25]. Характеристическим свойством матрицы перехода К_x(t, т) является то, что обратная к пей матрица К~^l(t, т) удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Умножим первое из уравнений (5.43) слева на К" ¹ (t, т), а уравнение (5.46) — справа на х. Складывая почленно результаты умножения, получим.

Проинтегрируем это уравнение от т до t:

Отсюда, пользуясь характеристическими свойствами матрицы перехода.

будем иметь

Искомое решение получается подстановкой найденного выражения для х (/) во второе из уравнений (5.43):

Для того чтобы определить явную форму весовой матрицы системы (5.43), представим решение (5.47) в форме интеграла свертки.

(5.32).

или.

откуда следует, что искомая весовая функция многомерной нестационарной системы имеет вид.

В заключение заметим, что любая система с одним входом и одним выходом, описываемая дифференциальным уравнением гг-го порядка вида.

коэффициенты которой дифференцируемы достаточное число раз, эквивалентна многомерной динамической системе с нормальной формой (5.43) уравнений состояния.

В самом деле, уравнение (5.48) эквивалентно системе 1221