Пусть G — моноид, Н < 1С. Элементы a, b е G называются сопряженными в группе Н, при Н = IG — просто сопряженными, если 5_1й8 = b для некоторого 8 6 Я. Обозначим отношение сопряженности а ~н b или а ~ b при Я = IG. Для коммутативного моноида G сопряженность относительно любой группы Я есть равенство.
Утверждение 4.6:
- а) отношение сопряженности ~7/ на моноиде G есть эквивалентен.
- 4 Для единицы е моноида G выполнено:
- 1) а ~и а, так как егхае = а;
- 2) если а ~и Ь, то 8_1а8 = b при некотором 5 е Н. Умножая последнее равенство слева на 5 и справа на 8-1, получаем (8″1)-1/?8-1 = а. Поскольку 8-1 е Я, то 6 в;
- 3) если а ~нb и b ~нс, то 8_1я8 = b и hrxbh = с при некоторых 8, h е Н. Подставляя во второе равенство вместо b левую часть первого равенства, получаем с = hrxb~xa&h = (8/?)-1a (8/z). Поскольку 8/z е Я, то а ~н с. ?
В группе (в отличие от отношения RH сравнимости по подгруппе) отношение сопряженности элементов разбивает некоммутативную группу на классы разных мощностей.
Утверждение 4.7. Сопряженные элементы моноида являются однотипными.
4 Пусть G — моноид, a, b е G и а ~н Ь. Если а имеет тип (d, п), то ad = = ad+n.
Поскольку 8_1я8 = b при некотором 8 е Я, то bd=g~ladg = 8~{ad+nb = bd+n. Тогда если b имеет тип (d', п'), то d' < d и п' п. Симметрично получаем d I п Значит, d= d' и п = п'. ?
Следствие. Если а ~И b, где а, Ь — элементы группы G, то ordtf = ord6. D>
Итак, разбиение моноида (группы) G на классы сопряженных элементов есть продолжение разбиения G на классы однотипных (однопорядковых) элементов.
Теорема 4.22. Преобразования g, h е Пп сопряжены в группе Sn изоморфны графы преобразований T (g) и Г (/?).
4 Если преобразования g и h сопряжены в Sw то у = g (x) «8(у) = h (S (x)) при некоторой подстановке 8 е Sn. Следовательно, графы Y (g) и Г (Л) изоморфны, так как отличаются лишь перенумерацией вершин в соответствии с подстановкой 8. Обратное утверждение доказывается рассуждениями в обратном порядке. ?
Следствие. Преобразования g, h е Пп сопряженные g и h имеют одинаковую цикловую структуру. >
