Линейные цепи при импульсном воздействии

Важное место среди линейных цепей занимают RC-цепи. С их помощью выполняется ряд преобразований импульсных сигналов, основанных на прохождении сигнала в виде ступенчатой функции через RC-цепь. Рассмотрим RC-цепъ (рис. 5.3, а), находящуюся под воздействием напряжения в виде ступенчатой функции. Она описывается дифференциальным уравнением.

где nit’s = I ° ^{при 1 <} °' где щг) | _{Е при t > 0}

Рис. 53. RC-цепъ (а) и напряжения на ее элементах (б) при воздействии в виде ступенчатой функции.

Решение дифференциального уравнения при t> 0 имеет вид где т = RC.

Временные зависимости напряжений на элементах RC-цетт изображены на рис. 5.3, б. Напряжение u_c(t) на конденсаторе увеличивается, а напряжение u_R(t) на резисторе уменьшается по экспоненциальному закону. Эти зависимости используются в дальнейшем для определения формы напряжения на выходе рассматриваемых цепей при более сложной форме воздействия.

Разделительные цепи. Назначение разделительных цепей — обеспечить разделение двух соседних импульсных каскадов по постоянному току (напряжению) и сохранение связи между ними, но переменной (импульсной) составляющей. Такая задача возникает, например, при передаче импульса с выхода усилительного каскада с высоким уровнем постоянного выходного напряжения на вход следующего каскада, в котором исходный начальный уровень постоянного напряжения значительно меньше.

Требования к разделительным цепям. Разделительная цепь должна обеспечивать:

• • большое сопротивление между выходом предыдущего и входом последующего каскадов по постоянному току, что соответствует более высокой степени развязки каскадов;
• • минимальные искажения формы передаваемого импульса.

Схемная реализация. В качестве разделительных цепей можно использовать:

• импульсный трансформатор, не пропускающий постоянной составляющей. Действительно, если через его первичную обмотку протекает постоянный ток I = const, то магнитный поток сердечника Ф = const и напряжение на вторичной обмотке трансформатора.

• конденсатор, не пропускающий постоянной составляющей тока. В конденсаторе ток и напряжение связаны соотношением.

du_c

i_c = C-j-. Если конденсатор включен между двумя точками с постоянным напряжением U_c = const (выходом предыдущего и входом последующего каскадов), то ток через него не протекает (i_c = 0).

Переменная составляющая передается через импульсный трансформатор и конденсатор. При соответствующем выборе параметров этих элементов импульс, представляющий собой сумму переменных составляющих, может быть передан без искажений (точнее, с весьма малыми искажениями). Для доказательства этого утверждения рассмотрим два примера.

Прохождение через RC-цепь одиночного прямоугольного импульса. Одиночный прямоугольный импульс, проходящий через ДС-цепь (рис. 5.4, а), длительностью т_и можно представить как сумму двух разнополярных ступенчатых функций с равными амплитудами, но сдвинутыми относительно друг друга на т_н, как показано на рис. 5.4, б. Согласно принципу наложения (суперпозиции) для линейных цепей реакция (выходное напряжение) на сложное воздействие может быть определена как сумма реакций цепи на каждое элементарное воздействие. Используя полученные выше сведения (см. рис. 5.3, б) о законе изменения напряжения на рези;

Рис. 5.4. Прохождение через разделительную ДС-цепь одиночного прямоугольного импульса сторе R, построим зависимости выходного напряжения м_вых1, и_вых2 (см. рис. 5.4, б) для каждой ступенчатой функции. Выходное напряжение определяется в результате сложения м_вых = и_вых1 + и_вых2 (рис. 5.4, в). При постоянной времени RC —? °° форма выходного напряжения будет близка к форме входного прямоугольного импульса.

Прохождение через RC-цепь периодической последовательности прямоугольных импульсов. В отличие от одиночного импульса такая последовательность содержит постоянную составляющую U₀ = UxJT(рис. 5.5, а). Так как конденсатор С не пропускает постоянное напряжение, в идеальном случае (при бесконечно большой емкости конденсатора) напряжение на выходе рассматриваемой цепочки будет отличаться от входного только отсутствием постоянной составляющей, когда площадь положительной полуволны равна площади отрицательной полуволны: S_x = S₂ (рис. 5.5, в). При этом напряжение на конденсаторе оказывается равным постоянной составляющей последовательности прямоугольных импульсов U₀.

В реальных условиях, когда емкость конденсатора имеет конечную величину, в выходном импульсе появится скол вершины, который будет тем больше, чем меньше постоянная времени т рассматриваемой ЛС-цепочки (рис. 5.5, в).

Рис. 5.5. Прохождение через разделительную ЯС-цепь последовательности прямоугольных импульсов.

Дифференцирующие цепи. Назначение дифференцирующей цепи (ДЦ), или дифференциатора, — сформировать выходное напряжение, пропорциональное производной от входного: u_Bblx(t) = = Kdu_BX(t)/dt, где К — постоянная, имеющая размерность времени.

Принцип реализации. Операцию дифференцирования выполняет идеальный конденсатор, ток (отклик) и напряжение (воздействие) которого связаны известным соотношением: i = Cdu/dt. Поэтому если последовательно с конденсатором включить резистор с весьма малым значением сопротивления (чтобы сохранить закон изменения тока) для регистрации отклика, то получим напряжение на резисторе u_R = Ri = RCdu/dt. Однако введение резистора не позволяет точно реализовать операцию дифференцирования. Действительно, протекающий в такой цени (рис. 5.6, а) ток равен i = Cdujdt = Cd (u_nx — u_nb[X)/dt, а закон изменения выходного напряжения

Рис. 5.6. Дифференцирующие цепи.

Условие | м_вых | | гг_вх | выполняется, если сопротивление резистора намного меньше сопротивления конденсатора, т. е. при.

Для этого случая согласно соотношению (5.3) при гармоническом входном сигнале и_вх = t/sinco? напряжение на выходе равно и_пых = (oRCUcoscot и в соответствии с соотношением (5.4) выполниется условие |м_вых| «и_ш.

Для импульсного сигнала, имеющего широкий спектр частот, соотношение (5.4) должно выполняться для всех частот (до со_макс), вносящих существенный вклад в энергию (мощность) импульса. Таким образом, чем больше скорость изменения входного сигнала (шире его спектр), тем сложнее выполнить условие.

Соотношение (5.4) можно переписать в виде т/Т0,5/л, т. е. постоянная времени т = RC должна быть значительно меньше периода Т следования импульсов.

На рис. 5.6, д приведена временная диаграмма выходного напряжения при воздействии на RC-цепъ (см. рис. 5.6, а) напряжения в виде ступенчатой функции (рис. 5.6, в), которая позволяет судить о точности реализации операции дифференцирования по сравнению с идеальным случаем (рис. 5.6, г). Чем меньше постоянная времени т = RC дифференцирующей цепи, тем выше точность.

Для импульсов с конечной длительностью фронта (среза) ошибка дифференцирования будет меньше. Рассмотрим прохождение импульса с конечной длительностью фронта ?_ф (рис. 5.6, е) через RC-цепь, представив его в виде суммы двух линейно нарастающих напряжений (рис. 5.6, ж).

Из дифференциального уравнения

для входного напряжения г ^dU^ О ДЛЯ t < О, _ч 1 _тти

^(или ~dT ⁼ k^t>0 ^{гдск = u/t}v^{находим}

где t > 0; U — амплитуда импульса; т = RC — постоянная времени; ?_ф —длительность фронта.

Уравнение (5.5) получено на основании следующих соотношений: Для входного напряжения находим (см. рис. 5.6, ж)

На основании соотношений (5.6) и (5.7) получаем выходное напряжение

которое приведено на рис. 5.6, е. Нетрудно убедиться в том, что чем сильней выполняется неравенство т, тем точнее результаты дифференцирования.

Недостаток пассивных дифференцирующих цепей — низкий уровень выходного напряжения (амплитуда /7тД_ф), обусловленный сравнительно большим значением постоянной времени т.

Электронный дифференциатор. Для устранения указанного выше недостатка используется инвертирующий усилитель с включением RC-це пи по схеме, приведенной на рис. 5.6, 6. Для оценки свойств электронного дифференциатора составим дифференциальное уравнение, используя следующие соотношения, справедливые для приведенной схемы:

Исключив в первом уравнении и с помощью второго, получим.

I.

где т_эд — постоянная времени электронного дифференциатора: т_эд = = RC/(K + 1); К — коэффициент усиления.

Из сопоставления выражений (5.8) и (5.5) следует, что дифференциальное уравнение (5.8) описывает структуру цепи, изображенной на рис. 5.6, а, с большим в К раз входным напряжением и меньшей в (К + 1) раз постоянной времени.

Укорачивающие цепи. Дифференциальные цепи находит широкое применение в качестве укорачивающих цепей (рис. 5.7, а), предназначенных:

• • для сокращения активной длительности выходных импульсов по сравнению с длительностью входных импульсов;
• • постоянства (нормализации) активной длительности выходных импульсов в широком диапазоне длительностей входных сигналов.

Укорачивающие цепи используются для запуска импульсных устройств (триггеров, ждущих мультивибраторов и др.).

Рис. 5.7. Укорачивающая цепь.

При воздействии на /JC-цепь прямоугольных импульсов длительность выходных импульсов не превышает Зт (рис. 5.7, б), где т — постоянная времени. Поэтому если длительность входных импульсов т_и > Зт, то длительность выходных импульсов остается постоянной (нормализуется) при изменении длительности входных импульсов в широких пределах.

Влияние выходного сопротивления Н_н источника импульсов на форму выходных импульсов. Как следует из рис. 5.8, внутреннее сопротивление источника импульсов:

• увеличивает длительность выходного импульса в связи с увеличением постоянной времени т = (R + RJC (рис. 5.8, а). Пункти;

Рис. 5.8. Влияние внутреннего сопротивления источника на форму выходного импульса укорачивающей цепи

ром на рис. 5.8, в показана зависимость выходного напряжения при.

я" = 0;

• уменьшает амплитуду выходного импульса (см. рис. 5.8, в), так как выходное напряжение снимается с резисторного делителя напряжения /?_и, R (рис. 5.8, б).

Влияние паразитной емкости С_п нагрузки на форму выходных импульсов (рис. 5.9). Как следует из схемы на рис. 5.9, 6, полученной на основании теоремы об эквивалентном генераторе [62], паразитная емкость:

• • увеличивает результирующую емкость RC-цепи, складываясь с основной емкостью С. Поэтому увеличиваются постоянная времени т = (С + C_n)R и, следовательно, длительность выходного импульса;
• • уменьшает амплитуду воздействия (напряжения эквивалентах

ного генератора): и = ——— и, следовательно, амплитуду выходноС + С".

го импульса.

Рис. 5.9. Влияние емкости нагрузки на форму выходного импульса укорачивающей цепи

Интегрирующие цепи. Назначение. Интегрирующая цепь (или интегратор) предназначена для формирования выходного напряжения, пропорционального интегралу от входного:

где К — постоянная, имеющая размерность, обратно пропорциональную времени, [с^-1].

Принцип реализации. Операцию интегрирования выполняет идеальный конденсатор, напряжение (отклик) и ток (воздействие) которого связаны известным соотношением.

Для реализации этой операции необходимо располагать источником тока, в качестве которого обычно используют источник напряжения с большим внутренним сопротивлением. Поэтому интегрирующая цепь имеет структуру, изображенную на рис. 5.10, а. Выходное напряжение равно напряжению на конденсаторе:

Приведенное выражение свидетельствует о том, что операция интегрирования реализуется с ошибкой, для уменьшения которой необходимо выполнить условие | и_ю | 5г> |м_пых|. Для гармонического входного сигнала это условие равносильно неравенству R 2> 1/(соС), которое для импульсных сигналов можно записать в виде со_ШШСД 1, где со_М|Ш — минимальная частота спектра импульсного сигнала.

Рис. 5.10. Интегрирующие цепи Определим реакцию к С-цеп и на одиночный прямоугольный импульс (рис. 5.10, в), представив его в виде суммы двух ступенчатых функций со сдвигом т_н, равным длительности импульса (рис. 5.10, г). Для этого воспользуемся дифференциальным уравнением (5.1) для ДС-цепи при воздействии ступенчатой функции и его решением (5.2), которые для рассматриваемой схемы имеет вид.

где т = RC — постоянная времени; Е — амплитуда входного импульса.

На рис. 5.10, в изображена форма выходного импульса, позволяющая судить об ошибках реализации операции интегрирования. Форма выходного напряжения при идеальном интегрировании показана на рис. 5.10, в пунктиром.

Электронный интегратор. Для оценки свойств электронного интегратора составим дифференциальное уравнение, используя следующие соотношения, справедливые для приведенной на рис. 5.3, б схемы:

Получим.

Выразив из последнего соотношения и = —и_ъш/К и подставляя в первое, получаем уравнение.

где т_эи = (К + 1 )RC — постоянная времени электронного интегратора; К — коэффициент усиления.

Из сопоставления уравнений (5.10) и (5.9) следует, что дифференциальное уравнение (5.10) описывает структуру цепи, изображенной на рис. 5.10, а> с большими в К раз входным напряжением и в (К + 1) раз постоянной времени.