Расчет прямой наименьших модулей и максимальной приведенной погрешности от нелинейности статической характеристики измерительного устройства

Прямой наименьших модулей (по отношению к кривой у = f (x)) называется прямая у._А =Л + Вх, максимальное отклонение которой от кривой у = f (x) на отрезке х_н <�х<�х_в является минимальным. Параметры Л, В такой прямой определяются из условия минимума неявно заданной функции двух переменных тахтос!(Л, В), выражающей максимальное отклонегде х_н < х < х_в.

Те значения аргументов функции шах то (1(Л, В), при которых выполняется условие.

ние прямой г/_а = А + Вх от кривой у = /(.г). Эту функцию можно записать в виде.

являются параметрами прямой наименьших модулей. Соответствующая максимальная приведенная погрешность от нелинейности (МППН) вычисляется по формуле.

где Д_тах — максимальное отклонение ПНМ от статической характеристики ИУ у = /(.г); г/_ан, г/_ав — граничные ординаты ПНМ (у_ш = А + Вх_н, Уав=^А + Вхв).

Условие (4.28), называемое критерием минимакса, равносильно условиям равномерного приближения функций у = /(х) и у._л =А + Вх на отрезке [х_н, х_в]. Их можно записать в виде системы М + N -1 нелинейных алгебраических уравнений.

где A_t, Д₂, Ддг — пиковые значения модуля абсолютной погрешности приближения.

число N которых зависит от особенностей приближаемой функции у = /(х); X.- (j = 1, 2,…, М) — абсциссы точек экстремумов погрешности приближения (4.31), число М которых также зависит от особенностей этой функции.

Решая систему уравнений (4.30), находят параметры ПНМ и, кроме того, абсциссы х.- точек экстремумов погрешности приближения (4.31). Далее можно вычислить максимальные значения модуля этой погрешности Aj, Д₂,…, Ддг. Все они должны быть равны друг другу, т. е. должны выполняться равенства.

В этом случае статическая характеристика И У у — /(х) оказывается заключенной между двумя параллельными прямыми, отстоящими от графика ПНМ на одинаковую величину.

Таких вариантов может быть несколько. На рис. 4.9 в качестве примера показаны два таких варианта. Они отличаются разным числом переходов кривой у = /(х) с одной прямой на другую Р и разными значениями чисел М и N. Для первого варианта (при котором кривая ограничена сплошными параллельными прямыми 1) имеем Р = 1, М=2иА/^г=3. Для второго варианта (при котором кривая ограничена штрихпунктирными параллельными прямыми 2) Р = 2, М = 2 и ЛГ = 4. Чем больше число Р, тем меньше Д_тах.

Рис. 4.9. Графический способ построения ПНМ

Прямую наименьших модулей можно построить графическим способом. Для этого нужно провести две параллельные прямые так, чтобы кривая у = /(.г) оказалась заключенной между ними, а число переходов Р этой кривой с одной прямой на другую было максимально возможным. Прямая, проходящая посредине между этими прямыми, есть ПНМ 1301.

Из рис. 4.9 видно, что не обязательно все экстремумы погрешности приближения (4.31) должны быть равны между собой по величине. Число таких экстремумов М, как уже отмечалось, зависит от особенностей приближаемой функции у = fipc). Этим объясняется неоднозначность выбора условий равномерного приближения (4.30) для графика сложной функции и необходимость поиска глобального минимума функции (4.26).

В практических приложениях выбор уравнения ПНМ выполняют с учетом следующих рекомендаций:

• 1) если /(0) = 0 и х_н = 0, то принимают у._Л(х) = Вх, т. е. считают, что А = 0 (рис. 4.10, а), хотя расчет в этом случае дает завышенное значение погрешности. При этом исходят из правила: если на входе прибора ничего нет, то на его выходе сигнал также должен отсутствовать. Такую прямую называют усеченной ПНМ;
• 2) если f (x) = -/(-х), т. е. статическая характеристика ИУ нечетная и, кроме того, х_н = -х_в, то также принимают у_г(х) = Вх (рис. 4.10, б).

Во всех остальных случаях принимают у_а(х) = А + Вх (рис. 4.10, в). Такую прямую называют полной ПНМ.

В любом случае исходными данными для расчета являются функция преобразования И У у = f (x) и пределы диапазона измерений (х_н, х_в), а результатами расчета — параметры ПНМ Л, В и значение МППН у_п. Покажем пример такого расчета.

Рис. 4.10. К выбору уравнения аппроксимирующей прямой:

а — для статической характеристики ИУ, проходящей через начало координат и случая х_и = 0; б — для нечетной статической характеристики ИУ и случая х_п = -х_и;

в — для остальных случаев Пример 4.4.

Определить ПНМ и МП ПН для статической характеристики.

заданной на интервале |дг|< 10 (т.е. х" =-10, .г" = 10).

Решение

На рис. 4.8, б показан график такой характеристики. В этом случае условия равномерного приближения (4.30) образуют систему четырех уравнений (см. рис. 4.8, б)

где.

Решая эту систему уравнений, получим А = 0,873, В = 2,033, х₂ = -1,338, х₃ = 8,949, т. е. уравнение ПНМ имеет вид у_л = 0,873 + 2,033.г.

На рис. 4.11, а показано соответствующее распределение погрешности приближения (4.31) по диапазону измерений, на рис. 4.11, б — карта линий уровней функции max mod (/l, В) в окрестности точки минимума. Параметры А, В — координаты этой точки.

Рис. 4.11. К расчету максимальной приведенной погрешности от нелинейности статической характеристики ИУ:

а — распределение погрешности по диапазону измерений; б — карта линий уровней функции max mod (/l. В)

Очевидно, что условия равномерного приближения (4.30) выполняются. Максимальное значение погрешности приближения равно Д_тах =3,827. Соответствующее значение МГТГТН (4.29) равно у_п =9,41%.

Таким образом, расчет параметров ПНМ можно выполнять двумя способами: 1) путем решения системы уравнений (4.30); 2) путем определения координат (Л, В) точки минимума неявно заданной функции двух переменных (4.28). На практике обе эти возможности применяются вместе, взаимно дополняя одна другую [28].