Последовательная RLC-цепь. 
Теория электрических цепей. 
Часть 1

Рассмотрим последовательную RLC-цепь (рис. 2.20, а), находящуюся под гармоническим воздействием, комплексная схема замещения которой приведена на рис. 2.20, б. Используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составим систему уравнений электрического равновесия цепи:

U=U_R+U_L+ U_c U_L = Zfif

i=i_R=i_L=io u_c = z_ci_c; u_R = z_Ri_R,

где Z_R = R; Z/ =j (oL Zq = 1/(/соС) — комплексные сопротивления входящих в цепь идеализированных элементов. Решая систему (2.94) относительно тока /, получаем.

Рис. 2.20. Схемы и векторные диаграммы сопротивлений последовательной jRLC-цепи

Комплексное входное сопротивление Z последовательной RLC-цепи равно сумме комплексных сопротивлений входящих в цепь элементов и определяется только параметрами входящих в цепь элементов и частотой внешнего воздействия (рис. 2.20, в):

Переходя от алгебраической формы записи Z к показательной, находим модуль и аргумент комплексного входного сопротивления:

Из выражений (2.97) следует, что характер входного сопротивления цепи зависит от соотношения между мнимыми составляющими комплексного входного сопротивления емкости х_с= -1/(соС) и индуктивности x_L = col. При x_L > х_с входное сопротивление цепи имеет резистивно-индуктивный характер (0 < ф < я/2). Векторная диаграмма, построенная на основании уравнения (2.96) и иллюстрирующая данный случай, представлена на рис. 2.20, г (для большей наглядности векторы Zj и Z_c изображены немного смещенными один относительно другого). Если x_L < х_с> то входное сопротивление цепи имеет резистивно-емкостный характер (-я/2 < ф < 0) (рис. 2.20, д). При x_L = х_с мнимые составляющие входного сопротивления емкости х_с и индуктивности Xj взаимно компенсируются и входное сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер (ф = 0) (рис. 2.20, е).

Используя уравнение (2.95), можно по известному напряжению, приложенному к внешним зажимам цепи, найти ток, и наоборот, найти напряжение по заданному току. Векторные диаграммы тока и напряжений цепи, соответствующие различным соотношениям между мнимыми составляющими комплексного сопротивления емкости Xq и индуктивности x_L} приведены на рис. 2.21. Вектор U_R = /?/, изображающий напряжение на сопротивлении, совпадает по направлению с вектором /; вектор U_L = jx_LI =jcoLI повернут относительно I на 90° против часовой стрелки; вектор Uq ⁼JxqI ⁼ = -;7/(соС) направлен противоположно вектору U_L. При x_L> I^хс (рис. 2.21, а) вектор U_L + U_cсовпадает по направлению с вектором Ul, ток цепи отстает по фазе от напряжения (ф > 0). При x_L < х_с (рис. 2.21, б) вектор U_L + Uc совпадает по направлению с вектором Uc, ток цепи опережает по фазе напряжение (ф < 0). Если x_L = х_с (рис. 2.21, в), то вектор Ul + Uc= 0, напряжение на зажимах цепи Uравно напряжению на сопротивлении U_R, ток цепи совпадает по фазе с приложенным напряжением (ф = 0).

Рис. 2.21. Векторные диаграммы тока и напряжений последовательной RLC-цепи.

Пример 2.4. Определим комплексное входное сопротивление и комплексный ток последовательной RLC-цепи (см. рис. 2.20, а) с параметрами L = 80 мкГп; С — 500 пФ; R =100 Ом, к зажимам которой приложено напряжение и = Y2 • lOcoscof для частот со! = 2,5 • 10⁶ рад/с, со₂ = 8 • 10⁶ рад/с, соз =5−10⁶ рад/с.

Комплексное входное сопротивление цепи (2.96) равно сумме комплексных сопротивлений входящих в нее элементов. Подставляя в формулу (2.96) параметры элементов цепи, находим комплексное сопротивление цепи при интересующих значениях частоты внешнего воздействия:

Таким образом, при 0 = 0)! входное сопротивление цепи имеет резистивно-емкостный, при со = со₂ ^— резистивно-индуктивный, при со = со₃ — чисто резистивный характер.

Используя закон Ома в комплексной форме ((2.95)), находим комплексный ток цепи:

Как и следовало ожидать, учитывая характер комплексного входного сопротивления цепи на заданных частотах, при со = coi ток опережает напряжение по фазе на угол 80,5°, при со = со₂ ток отстает по фазе от напряжения на угол 75,6°, а при со = со₃ напряжение и ток совпадают по фазе.