Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации

РефератПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Пусть группа экспертов состоит из N человек. Каждый эксперт усвоил содержание качественного критерия К. Каждому эксперту, например, v-му, для сравнения по критерию К предъявляется пара решений xit Xj X. Он должен дать один ответ: или х{ >— Xj, или дг, — Xj. Эксперту предъявляются все возможные пары решений из X. Вообще говоря, множество пар может быть велико. Вопрос о сокращении объема опроса… Читать ещё >

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Одной из основных трудностей применения моделей для принятия решений является представление суждений в виде числовых значений (своеобразной функции полезности) по некоторой шкале. Любой метод такого представления должен удовлетворить многим критериям. Некоторая неопределенность в суждениях экспертов не должна сильно влиять на соответствующее числовое значение, и, наоборот, значительная разница в суждениях должна отражаться столь же значительным разбросом на числовой шкале. Кроме того, модель должна давать возможность получать близкие суждения при небольших отклонениях в числовом представлении суждений.

Рассмотрим построение алгоритмов упорядочения объектов (альтернатив, КЭ) задач ОФХТС на основе нечеткой информации, полученной экспертным опросом.

При построении числовых предпочтений у экспертов обычно спрашивают: а) какой из двух объектов, по их мнению, более важен; б) насколько сильна в их представлении разница в важности, если воспользоваться некоторой задапной шкалой.

Для построения шкалы важности рекомендуется (18) использовать ранги важности (табл. 6.6).

Пусть Z = zlt.. ., zn — вектор истинных значений относительной важности п рассматриваемых объектов; W = (c)х,.. .

.. ., о>п — вектор относительных оценок, полученных при ранжировании объектов при экспертном опросе; 2 z;— = l; 2 (Dj = l.

j=T7n ;=Т7й Если все экспертные оценки точны (o)j = Zj; V/), то матрица попарных сравнении Л, элементы которой равны atj = = (Of/соj, является состоятельной, т. е. для нее выполняются соТаблица 6.6. Ранги важности при сравнении объектов, альтернатив для решения задач ОФХТС экспертным методом [18|.

Степень важности.

Определение.

Пояснение.

Объекты несравнимы.

Сравнение двух объектов бессмысленно.

Объекты одинаково важны.

Оба объекта носят одинаковый вклад в достижение поставленной цели.

Один немного важное другого (слабое превосходство).

Есть некоторые основания предпочесть один объект другому, по их нельзя считать неопровержимыми.

Один существенно важнее другого (сильное превосходство).

Сущестьуют важные свидетельства того, что один из объектов более пажеп.

Один явно важнее другого.

Имеются неопровержимые основания, чтобы предпочесть один другому.

Один абсолютно важнее другого.

Превосходство одного из объектов очевидно, что не может вызвать ни малейшего сомнения.

2, 4, 6, 8.

Числа, обратные перечисленным выше.

Значения, приписываемые промежуточным суждениям Если при сравнении с объектом, А объект С получил один из указанных выше раигов, то Б при сравнении с, А получает обратное значение.

Используются, когда выбор между двумя соседними нечетными числами вызывает затруднение.

отноптепия аиа^ = д,*, и в частности ац = 1, a, —f = [18].

Состоятельная матрица А имеет единичный ранг. Отсюда п — единственное собственное число матрицы .1; характеристическое уравнение {Лее = /ко} фф {(А — гг Г) <�о = 0} матрицы А имеет единственное ненулевое решение (со Ф 0), обладающее свойством У, о)^= 1. Если экспертные оценки неточны (со;— Ф Zj V/), то матрица А не является состоятельной, по крайней мере нарушаются условия aJh aJk = aikt V/; V/; VAr; ранг А Ф 1; максимальное собственное значение матрицы А,тах Ф п и не все остальные собственные значения равны нулю. Согласно теории матриц собственные значения матрицы А являются непрерывными функциями ее элементов.

При малых возмущениях в элементах состоятельной матрицы наибольшее из собственных значений будет близко к п, а все остальные будут близки к нулю. Таким образом, предположив а л = = 1 и Vi, / = 1, п и получив решение уравнения Лео = ах<�о, можно судить о качестве матрицы по тому, насколько близко к п окажется Д,тах. Тем самым установим, насколько близки экспертные оценки к истинным. Величина | Хгаах — п | свидетельствует о внутренней несогласованности оценок экспертов и о необходим мости их уточнения.

Рассмотрим некоторые алгоритмы восстановления экспертных оценок по изложенному выше подходу.

Алгоритм 4. Упорядочение (или группировка) объектов 0.. 0п по одному КЭ путем экспертного опроса.

Ш, а г 1. Получим на основе ранжирования важности объектов экспертным опросом (см. табл. 6.6) относительные экспертные п.

оценки важности: W /=1,п; 2 = 1, и определим.

i=i.

матрицу попарных сравнений объектов.

А = || аи ||; аи = с0,/ю/, / = 1, п. (6.90).

Ш, а г 2. Вычислим вектор собственных значений матрицы А и определим наибольшее собственное значение Хтах.

III, а г 3. Проверим необходимость пересмотра и уточнения экспертных оценок (с переходом к шагу 1), если | Л,пах — п | > > ?, где | — требуемая точность. Если | Хшах — п | ^ то можно считать матрицу А достаточно состоятельной.

Ш, а г 4. Решим систему уравнений (А — Хтах /) со = 0 с уче;

Т".

том условий нормировапности вектора со: 2 (0j== 1 • Определим.

9−1

восстановленные нормированные оценки <�о, решая следующую обобщенную систему уравнений:

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

где, а — вспомогательная переменная; К €= Яп — вектор штрафных коэффициентов, К = {Ay}, Ау^> 0, j = 1, п, в частности Ay^lO6—107; е ^ Яп вектор, все элементы которого равны единице; нетрудно проверить, что Ау оо, а* 0.

Ill, а г 5. Упорядочим (или сгруппируем) объекты по восстановленным опепкам:

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

При ОФХТС алгоритм 4 может найти применение дляокончательного выбора оптимальных решений из множества альтернатив, каждая из которых является оптимальным решением задачи ОФХТС, полученным с помощью одного метода (в этом случае в роли экспертов выступают различные алгоритмы решения одной и той же задачи ОФХТС, экспертные оценки устанавливаются на основе оптимальных значений КЭ задачи ОФХТС, соответствующих различным решениям); 2) группировки конечного множества сравнимых объектов по какому-либо признаку упорядочения вариантов ОФХТС экспертным путем по качественному критерию;

  • 3) упорядочения вариантов ОФХТС по качественному критерию;
  • 4) упорядочения КЭ (или признаков подобия) и восстановления весов их относительной важности; 5) определения функций принадлежности, позволяющих оценить относительные степени принадлежности объектов к группам в смысле определенного признака подобия. Признаки подобия, в свою очередь, используются как исходная информация для решения задач классификации с помощью алгоритмов 1—3. Отсюда вытекает возможность комбинации алгоритмов 1—3 и 4 для решения задач оптимизации структур ХТС, ГАХТС в условиях нечеткой информации.

Алгоритм 5. Экспертное упорядочение (или группировка) объектов при наличии многих сложных КЭ с неизвестными отношениями предпочтения. Пусть требуется экспертным путем упорядочить или сгруппировать конечную совокупность объектов 0i,.. ., Оп одновременно по многим критериям (признакам) Fl$.. ., Fm с неизвестными весами важности критериев. Решение этой задачи осуществляется в следующей последовательности.

Ill, а г 1. Экспертным путем упорядочим по важности (сгруппируем) множество критериев (признаков) Fu.. ., Fkt.. ., F,n, используя алгоритм 4. Пусть = (plt.. Р*,.. pm) ^ Rm —

вектор восстановленных нормированных экспертных оценок важности этих критериев (признаков).

Ш, а г 2. Для каждого критерия (признака) Fk = 1, т) экспертным путем упорядочим (сгруппируем) объекты 0Х,.. .

.. ., Ojy.. ., 0П, используя алгоритм 4. Пусть со* = (со*,.. .

.. ., со*.у,.. ., щп) Rn — вектор восстановленных оценок относительной важности (близости) по критерию (признаку) F сравниваемых объектов.

III, а г 3. Определим вектор обобщенных нормированных оценок важности (близости) по совокупности критериев (признаков) Z = (zlt.. ., zn) ЕЕ Rn па основе построения линейной комбинации этих критериев: Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

где W[mxrj] — матрица, состоящая из векторов строк со* == = ГГт), т. е. W = || Wjfj ||; к = 1,' т;; = 1, п.

Пример 2. Иллюстрируем работу алгоритмов 4 и 5 для решепия следующей ЗПР: необходимо выбрать один из трех вариантов проектирования ХТС, обозначаемых через А, В, С, при учете шести критериев эффективности Ki— Кву которые расположены по степени важности. Пусть в результате попарного сравнения критериев экспертным путем получим матрицу.

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

В результате* экспертной прогнозирующей оценки о важности вариантов проектирования ХТС в смысле каждого из КЭ получим также матрицы попарных сравнений альтернатив:

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

Восстановим относительные веса важностей КЭ по заданной матрице Ajg Для этого а) определим максимальное собственное значение матрицы: К{А) = 6,35; отклонение этой величины от п = 6 означает внутреннюю рассогласованность экспертов; б) восстановление весов важности КЭ сведем к решению следующей системы линейных уравнений относительно неизвестных весов W1 (К)... W9 (К) н вспомогательной переменной z:

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

Решение этой системы уравнений имеет вид <0, (Я") = 0,16; о)2 (К) = 0,19; (о3 (К) = 0,19; (о4 (К) = 0,04; w6 (К) = 0,12; о>в (К) = 0,30; г = W13.

Аналогичным образом восстановив веса важности альтернатив Л, В, С

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

Обобщенная оценка предпочтения альтернатив при свертке КЭ по оценкам их важности Wj (К) — <�о* (К) получается при умножении матрицы D на вектор (!>i (К) — сов (К).

Получим WA = 0,4; WB = 0,34; Wc — 0,26, следовательно, предпочтительнее всех является вариант А, худшим является С, следовательно, имеем А > В > С.

Рассмотрим еще один экспертный метод принятия решений ОФХТС в случае с качественным КЭ 119].

Алгоритм в. На основе данных опроса экспертов в соответствии с качественным КЭ, который представляет собой нечеткое групповое предпочтение, в ЭВМ формируется на множестве возможных решений скалярная функция, в определенном смысле согласованная с нечетким групповым предпочтением. Эта функция задается в интервальной шкале измерений и позволяет выбрать наилучшее решение в условиях неопределенностей разного рода.

Пусть имеется некоторое исходное множество решений ОФХТС X = {#1, х2>.. ., xn}, которые надо оценить количественно в соответствии с некоторым качественным КЭ /Г, т. е. имеется задача о шкалировании качественного КЭ. На основе этих количественных оценок в дальнейшем будет осуществлен выбор наилучшего решения в X. Мы должны разработать некоторую процедуру, позволяющую отобразить X в Л1. Контролирует эту процедуру качественный критерий X, и контроль осуществляется через группу экспертов (специалистов), которые формулируют К. Входными данными для процедуры являются данные, полученные в результате эвристического эксперимента с группой специалистов. В результате этого эксперимента выявляются предпочтения экспертов на парах решений из X, отражающие их деловой опыт и профессиональные знания.

Пусть группа экспертов состоит из N человек. Каждый эксперт усвоил содержание качественного критерия К. Каждому эксперту, например, v-му, для сравнения по критерию К предъявляется пара решений xit Xj X. Он должен дать один ответ: или х{ >- Xj, или дг, — Xj. Эксперту предъявляются все возможные пары решений из X. Вообще говоря, множество пар может быть велико. Вопрос о сокращении объема опроса рассмотрен в [20]. В результате эксперимента с v-м экспертом получим матрицу || б||, где t, j = = 1, л, a 6(iJ равно единице, если эксперт ответил xt >- Xj, и равно нулю в противном случае.

Осуществляем таким образом опрос всех экспертов в группе. В результате получим входные данные для процедуры в виде N матриц вида || ||; т = 1, N. Данные эксперимента по самой своей сущности представляют нечеткое бинарное отношение предпочтения на X. Это связано с двумя причинами. Во-первых, эксперимент неполный, полную информацию о предпочтениях даже одного эксперта на X трудно получить. Во-вторых, предпочтения экспертов не совпадают, и это тоже рождает неопределенность. Получением данных эксперимента (опроса) исчерпывается неформальная часть процедуры. В дальнейшем эти данные вводятся в ЭВМ, и она осуществляет весь расчет и распечатку результатов.

На основе данных эвристического эксперимента в результате предварительной обработки получим следующее. Вводим новые N

величины Wjj = 2 Это число голосов, поданных за решение.

V—1.

Xi против решения xj. Ясно, что О nfj ^ N; пц + пц = N. Кроме того, пц = N12, если xt ~ Xj (эквивалентны), и тогда Пц — = N!2, поскольку xt ~ xj. Здесь использован психологический факт, что люди лучше различают непохожие (далеко отстоящие друг от друга) явления и плохо различают похожие (близкие) явления. Введем величины ztJ ~ ntJ — пп = 2пХ) — N. Эти величины могут быть и положительными, и отрицательными и обладают следующими свойствами:

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

п где Я, 0; 2 ^=1. Таким образом, в результате предваритель;

i =i.

ной обработки данных эвристического эксперимента (опроса) получим матрицу || ztJ

Числа (количественные оценки), которые процедура припишет решениям из X, обозначим через xt (i = 1, п). Тогда запись.

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

есть аналитическое выражение упомянутого выше психологического факта. Кроме того, пусть числа и< удовлетворяют следующему условию:

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

Выполнение этого условия позволит нам задать числа р, — в однородной интервальной шкале [21]. Из (6.95) и (6.96) вытекает условие.

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.
Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

Такое представление чисел р* не нарушает (6.95). Действительно, пусть Z{j удовлетворяют (6.97). Тогда имеем.

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

Пусть Zij не удовлетворяют (6.97). Поскольку эксперимент протекает произвольно, то чаще следует ожидать именно этот случай. Тогда вместо (6.95) используем следующее предположение:

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

где zij — элементы новой матрицы, полученной из || ztj || некоторым сглаживанием (корректировкой). Это сглаживание должны выполнить, если не хотим отказаться от интервальности и однородности шкалы. При этом желательно сохранить представление.

(6.98). Сглаживание проводим следующим образом. В матрице || ztJ || выделим v-ю строку. Это значит, что выбрали zy) (; = 1, п). Одновременно известпы элементы v-ro столбца ziv = —Zyt (i = = 1, п). Из этих (2п — 1) элементов можем сформировать матрицу, любой элемепт которой вычисляется по следующей формуле:

zuу) = ziv + Zy, j. (6.100).

Элементы zxi (д^,) удовлетворяют (6.94) по определению. Таких матриц строим п по числу Xv (v = 1, п). На основе этих п матриц построим одну по следующему правилу:

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

Можно показать, что элементы этой матрицы удовлетворяют (6.Й7). Осталось показать, что эта процедура сохраняет представление.

(6.98), так как.

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

Таким образом, на основе представления (6.98) в ЭВМ каждому решению Xi припишется число р* в однородной интервальной шкале. Числа р* упорядочивают X и согласованы с первоначальным нечетким групповым отношением предпочтения на парах решений из X. Наилучшее решение определяется из уравнения.

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

Числа щ могут быть как положительными, так и отрицательными. Разрешенными преобразованиями для них являются = ар, -J- -f р; а 0; р — произвольное число. Применив это линейное.

п

преобразование, получим числа /?, такие, что pt > 0; 1.

Тем самым все изложенные выше результаты, инвариантные относительно разрешенных преобразований, справедливы и для случая, приведенного в работе |21), когда данные эксперимента задаются в виде матрицы вероятностей предпочтения || рц |, а р* в виде.

Алгоритмы упорядочения объектов при ОФХТС на основе нечеткой экспертной информации.

где ри = Р (xf >- Xj) = (rijj + )/(N -j- 2) (карнаповская оценка). В этом случае обоснованной является также последовательная процедура уточнения pf, приведенная в работе |22|.

Описанные выше алгоритмы могут быть рекомендованы для решения различных классов ЗПР для ОФХТС в виде задач упорядочения н группировки объектов при учете одновременно многих сложных (количественных, качественных) КЭ или признаков подобия.

Показать весь текст
Заполнить форму текущей работой