Принципы составления уравнений равновесия

Для математического описания цепи необходимо составить две системы уравнений:

• • топологические уравнения, которые зависят только от геометрической конфигурации цепи и определяются способами соединений ее элементов (ветвей, двухполюсников). Эти уравнения устанавливают связи между токами и напряжениями отдельных ветвей, входящих в цепь, и составляются на основе двух законов Кирхгофа;
• • компонентные уравнения, связывающие воздействие и отклик каждого элемента (см. п. 1.2). Эти уравнения не зависят от схемы и геометрической конфигурации цепи.

Так как обычно узлов и контуров больше, чем ветвей цепи, число топологических уравнений превышает число неизвестных, т. е. некоторые из топологических уравнений оказываются лишними. Задача согласования числа уравнений с числом неизвестных решается выбором (определением) независимых узлов и независимых контуров. Независимым узлом (контуром) называют такой узел (контур), уравнение Кирхгофа для которого не может быть получено с помощью других уравнений системы (например, путем их алгебраического сложения).

Число независимых узлов q_H = q — 1, где q — общее число узлов цепи. Для независимых узлов составляются уравнения по первому закону Кирхгофа. Оставшийся узел является зависимым, так как для него может быть получено уравнение с обратными знаками путем сложения всех линейно независимых узловых уравнений цепи.

Если для цепи, содержащей р ветвей, составить р — q_n уравнений по второму закону Кирхгофа, то получим общее число независимых топологических уравнений р_и=р — q_u = = р — q — 1. Система уравнений электрического равновесия, включая компонентные уравнения (уравнения ветвей), будет содержать 2р уравнений, что позволит определить напряжения и токи всех ветвей цепи. Однако помимо пассивных компонентов электрические цепи содержат источники напряжения и (или) тока, для которых не требуется определять токи и напряжения соответственно.

При наличии в цепи р_ин источников напряжения и р_т источников тока общее число неизвестных напряжений и токов уменьшается до 2р — р_ИН — р_ИТ. Для их определения нужно составить q_u + р_и = р линейно независимых уравнений на основании законов Кирхгофа и р — р_ин — р_нт компонентных уравнений для ветвей, не содержащих указанных источников.

Изложенный принцип формирования уравнений проиллюстрируем на двух конкретных примерах.

Параллельная цепь (см. рис. 1.3.2, а). Цепь содержит четыре элемента (компонента, двухполюсника), которые будем называть ветвями. В цепи имеется два узла (1 и 0) и шесть контуров (j — G;G — LL — Cj — Lj — C G — С), каждый из которых состоит из двух элементов. Неизвестными являются токи i_Gy i_L, i_c пассивных компонентов и напряжение и на активном компоненте (источнике тока).

На основании закона Кирхгофа для токов запишем для узлов 1 и 0 уравнения соединений:

В (1.3.3) оставляем первое уравнение, так как второе дублирует первое. Дополним его компонентными уравнениями:

Таким образом, для определения четырех неизвестных получили систему из четырех уравнений. Покажем, как для рассматриваемой цени можно сократить число одновременно решаемых уравнений до одного.

После подстановки (1.3.4) в (1.3.3) получим интегродифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами относительно узлового напряжения u (t):

Продифференцировав обе части уравнения (1.3.5) по времени, получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

В результате решения (1.3.6) отыскивается напряжение u (t) на элементах цени, после чего не составит труда определить протекающие через них токи (1.3.4).

Последовательная цепь (см. рис. 1.3.2, б). Топология этой цени включает в себя один контур и четыре узла.

На основании закона Кирхгофа для напряжений запишем уравнение соединений:

Уравнение (1.3.7) при заданной ЭДС e (t) содержит три неизвестных u_R, и_с и u_L, поэтому его следует дополнить компонентными уравнениями.

После подстановки (1.3.8) в (1.3.7) получаем интегродифференциальное уравнение.

содержащее одну неизвестную величину — ток i (t) в контуре.

Продифференцировав обе части уравнения (1.3.9) по времени, получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

В качестве неизвестных могут быть также выбраны потокосцепление |/ (для схемы на рис. 1.3.1, а) и заряд q (для схемы на рис. 1.3.1, 6). Для этого случая можно получить тождественные уравнения равновесия, которые имеют вид.

Действительно, продифференцировав обе части этих уравнений по времени и учитывая, что df/dt = и, a dq/dt = i, получим (1.3.6) и (1.3.10).

Рассмотренный принцип формирования уравнений равновесия позволяет определить все требуемые неизвестные напряжения и токи. Такую систему уравнений называют основной системой уравнений электрического равновесия цени. На практике используют различные методы (приемы), направленные на уменьшение числа одновременно решаемых уравнений. Эти методы рассматриваются в следующей главе.

Дифференциальные уравнения играют в теории цепей фундаментальную роль, так как в результате их решения можно получить полное представление обо всех процессах, протекающих в исследуемой цепи.