Закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме

По определению работа при перемещении частицы равна скалярному.

произведению силы на вектор перемещения: ЬА — F dr. Поэтому работа действующих на один из носителей тока сил при его перемещении dri = dt будет где Работа 6Ai идет на увеличение кинетической энергии носителя тока. При столкновениях с частицами среды он отдает им приобретенную кинетическую энергию. Таким образом, работа сил, действующих на носители тока в проводнике, переходит во внутреннюю энергию проводника. Вычислим количество тепла dW*, которое выделяется в объеме dV за время dt:

Поле внутри физически бесконечно малого объема dV можно считать однородным, поэтому

При помощи определения (4.32) плотности тока этому выражению можно придать вид.

где величина называется удельной мощностью тока, или удельной мощностью джоулева энерговыделения. Величина w есть количество тепла, выделяющегося в единице объема за единицу времени. Равенства (4.45) и (4.46) выражают закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Проинтегрировав равенство (4.45) по некоторому объему V придем к соотношению dW = Pdt, где dW есть количество тепла, которое выделяется в объеме V за время dt, а мощность.

Можно доказать, что в том случае, когда объем V ограничен линиями тока и эквипотенциальными поверхностями, подстановка выражения (4.46) под знак интеграла в (4.47) приводит к формуле Р = 1U.