Свойства плоской волны в однородной изотропной среде

Исследуем основные свойства плоской волны, распространяющейся в безграничной однородной изотропной среде. Источники, создающие волну, находятся за пределами рассматриваемой области. Поэтому векторы и удовлетворяют однородным уравнениям Гельмгольца. Предположим, что поле не зависит от координат и. Тогда уравнения принимают вид.

(8).

где. Решая уравнение для вектора, получаем.

(9).

где и — некоторые векторные, в общем случае комплексные, постоянные.

Считаем, когда потери в среде обусловлены только ее проводимостью, введем обозначение.

(10).

получаем. Отметим, что больше величины в среде без потерь с теми же значениями и. Аналогично, обозначая.

(11).

получаем .

Рассмотрим волну в момент в точке фаза напряженности электрического поля, соответствующего этой волне, равна. В момент в точке фаза той же функции равна. Полагая, приходим к соотношению. Как видно, положительным приращениям соответствуют положительные приращения. Следовательно, такая волна распространяется в положительном направлении оси .

Предположим, что источник, создающий электромагнитное поле, расположен со стороны отрицательных значений (рис.13). Так как среда считается безграничной и однородной, в рассматриваемой области пространства должна существовать только волна, распространяющаяся в положительном направлении оси. Поэтому в первом слагаемом в формуле (11) в соответствии с выбором вида множителя следует положить.

(12).

При выбранном значении второе слагаемое в (9) описывает волну, распространяющуюся к источнику. Так как среда является однородной, то. Следовательно.

Аналогично, из уравнения Гельмгольца для вектора находим, что, где — некоторый постоянный (в общем случае комплексный) вектор. Непосредственно из уравнений Гельмгольца дополнительной информации о векторах и получить нельзя. Однако векторы и должны удовлетворять уравнениям Максвелла. Так как векторы и не зависят от переменных и, то, проецируя указанные уравнения на ось, замечаем, что и. Таким образом, и в случае векторы и перпендикулярны направлению распространения волны. Такие волны называют поперечными. Проецируя затем уравнения на оси X и У, приходим к соотношениям, из которых следует, что.

(13).

где — характеристическое сопротивление волны (отношение поперечных к направлению распространения волны составляющих векторов и). У волны, распространяющейся в среде с потерями, — комплексное число. В рассматриваемом случае.

(14).

где.

; (15).

В среде без потерь и; .

Таким образом, поле плоской волны в среде с проводимостью, отличной от нуля, определяется выражениями.

(16).

В среде без потерь ,.

При изменении удельной проводимости от нуля до бесконечности угол увеличивается от нуля до, а модуль убывает от до нуля. Как видно, наличие потерь приводит к уменьшению абсолютной величины характеристического сопротивления, т. е. к увеличению при заданном значении. Это обусловлено тем, что величина определяется как током проводимости, так и током смещения. В среде без потерь существуют только токи смещения. В среде с потерями при тех же значениях и токи смещения остаются прежними, но к ним добавляются токи проводимости.

Проанализируем полученные результаты. Рассмотрим сначала случай, когда вектор имеет лишь одну составляющую, например,. Тогда вектор также будет иметь одну составляющую, перпендикулярную (в рассматриваемом примере). Считая вектор вещественным () и переходя к мгновенным значениям векторов и из получаем.

(17).

В случае среды без потерь формулы принимают вид.

(18).

Из полученных формул видно, что поле плоской волны в однородной изотропной среде обладает следующими свойствами. Волна является поперечной. Комплексные амплитуды (и) векторов и всегда взаимно перпендикулярны, а в частном случае, когда вектор имеет одну составляющую (например,), взаимно перпендикулярны и их мгновенные значения. Поверхности равных фаз определяются уравнением и представляют собой семейство плоскостей, перпендикулярных оси. Амплитуды векторов и экспоненциально убывают вдоль оси. Постоянную называют коэффициентом ослабления. В среде без потерь и.

Рис. 14.

Рис. 15.

амплитуды векторов и не зависят от координат. При поверхности равных амплитуд (ПРА) совпадают с ПРФ. Волны, обладающие таким свойством, как и волны, амплитуды векторов и которых не зависят от координат, называют однородными. При между векторами и имеется фазовый сдвиг. Вектор опаздывает по фазе относительно вектора на угол. В среде без потерь векторы и изменяются синфазно. При изменении от нуля до бесконечности фазовый сдвиг возрастает от нуля до. На рис. 14 и 15 показаны зависимости мгновенных значений векторов и от времени в некоторой фиксированной точке пространства () в среде с и в среде без потерь. На рис. 16 и 17 показаны зависимости тех же величин от координаты в некоторый фиксированный момент времени для случаев и .

Фазовая скорость плоской волны находится так же, как в случае сферической волны. Рассмотрим перемещение ПРФ за время. В результате придем к равенству, из которого следует, что при.

Рис. 16.

Рис. 17.

(19).

В среде без потерь и, т. е. равна скорости света в среде с теми же параметрами и. Так как, то в среде с потерями меньше в среде без потерь с теми же и .

Параметр, определяющий фазовую скорость, называют коэффициентом фазы. При фазовая скорость зависит от частоты (): с увеличением последней она возрастает. Предельное значение при равно. Кроме того, величина зависит от проводимости среды: при одинаковой частоте она будет меньше в среде с большей проводимостью.

Длина волны при.

(20).

Она меньше длины волны в среде без потерь с теми же и. Ее значение зависит от проводимости среды. При длина волны.

.

где .

Распространение волны сопровождается переносом энергии. При комплексный вектор Пойнтинга.

(21).

содержит как действительную, так и мнимую часть. Это означает, что имеется как активный, так и реактивный поток энергии. Средняя за период плотность потока энергии экспоненциально убывает вдоль оси :

(22).

При комплексный вектор Пойнтинга является чисто действительным и не зависит от координат:

(23).

Как видно, в этом случае имеется только активный поток энергии.

Возникновение реактивного потока энергии в среде с может быть объяснено следующим образом. При распространении электромагнитной волны в среде возникают электрические токи с плотностью, на поддержание которых расходуется часть энергии волны. В свою очередь, возникшие в среде электрические токи, излучают. электромагнитное поле: создают вторичную плоскую волну, которая складывается с первичной, происходит непрерывный обмен энергией между волной и средой, что и приводит к возникновению реактивного потока энергии.

Скорость распространения энергии вычисляется по формуле и равна фазовой скорости:

(24).

Как видно, при скорость распространения энергии зависит от частоты. В среде без потерь одинакова при любой частоте.

Характеристическое сопротивление волны при также зависит от частоты. Модуль возрастает с увеличением. Его предельное значение при совпадает с характеристическим сопротивлением волны, распространяющейся в среде без потерь с теми же и, т. е. равно. Аргумент характеристического сопротивления изменяется от (при) до нуля (при).

Из изложенного следует, что свойства плоской волны, распространяющейся в среде с проводимостью и в среде без потерь, различны. Основное отличие состоит в том, что в среде без потерь параметры плоской волны (и др.) одинаковы при любых частотах, а в среде с проводимостью они зависят от частоты. Зависимость свойств волны от частоты называется дисперсией, а соответствующие среды — диспергирующими. Отметим, что среда может быть диспергирующей и при, если характеризующие ее параметры и зависят от частоты.

В общем случае вектор имеет две составляющие и, между которыми возможен фазовый сдвиг. При этом вектор также будет иметь две составляющие и. Если составляющие вектора по осям и (и) изменяются синфазно, то поворотом осей координат и вокруг оси этот случай сводится к уже рассмотренному, когда вектор имеет одну составляющую. При наличии между составляющими и фазового сдвига, не равного, где — целое число, волна имеет некоторые особенности, например при мгновенные значения векторов не являются взаимно перпендикулярными. Перечисленные выше остальные свойства плоской волны имеют место и в этом случае.