Линейное уравнение регрессии

Всероссийский заочный финансово-экономический институт Лабораторная работа по дисциплине «Эконометрика»

Брянск 2010

Задание В таблице 1 представлены данные о рынке строящегося жилья в Санкт-Петербурге (по состоянию на декабрь 1996 г.).

Таблица 1 — Исходные данные

Принятые в таблице обозначения:

Y — цена квартиры, тыс.долл.;

Х1 — число комнат в квартире;

Х2 — район города (1 — Приморский, Шувалово-Озерки, 2 — Гражданка, 3 — Юго-запад, 4 — Красносельский);

Х3 — общая площадь квартиры (м²);

Х4 — жилая площадь квартиры (м²);

Х5 — площадь кухни (м²);

Х6 — тип дома (1 — кирпичный, 0 — другой);

Х7 — наличие балкона (1 — есть, 0 — нет);

Х8 — число месяцев до окончания срока строительства.

1) Введите фиктивную переменную z, отражающую местоположение квартиры и позволяющую разделить всю совокупность квартир на две группы: квартиры на севере города (Приморский район, Шувалово-Озерки, Гражданка) и на юге города (Юго-запад, Красносельский район).

2) Составьте матрицу парных коэффициентов корреляции исходных переменных. Вместо переменной х₂ используйте фиктивную переменную z.

3) Постройте уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов в линейной форме. Установите, какие факторы мультиколлинеарны.

4) Постройте модель у = f (х₃, х₆, х₇, х₈, z) в линейной форме. Какие факторы значимо воздействуют на формирование цены квартиры в этой модели?

5) Существует ли разница в ценах на квартиры, расположенных в северной и южной частях Санкт-Петербурга?

6) Оцените статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия Стьюдента; нулевую гипотезу о значимости уравнения регрессии проверьте с помощью F-критерия Фишера; оцените качество уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации R².

Решение

1) Введем фиктивную переменную Z вместо Х2, отражающую местоположение квартиры и позволяющую разделить всю совокупность квартир на две группы. Первые 47 квартир относятся к северной части города (Приморский район, Шувалово-Озерки, Гражданка), а оставшиеся 22 квартиры относятся к южной части города (Юго-запад, Красносельский район). Составим матрицу парных коэффициентов корреляции исходных переменных.

2) Проведем корреляционный анализ на выявление зависимости Y от представленных факторов в среде «СтатЭксперт» .

Протокол корреляционного анализа Главная цель анализа данных состоит в выявлении корреляционной связи зависимой переменной Y с независимыми переменными Х_i, а также выявление независимых переменных, имеющих высокий уровень корреляции между собой.

Критическое значение коэффициента корреляции r_кр = 0,2002. Это означает, что все коэффициенты корреляции, значения которых меньше r_кр принимаются равными нулю, а связь между этими параметрами считается незначимой.

Влияние независимой переменной Х₃, Х₄, включенной в исследование, имеет высокий уровень (r > 0,7), причем это влияние положительно (r_ух3 = 0,872, r_ух4 = 0,917).

Х₅ оказывает умеренное положительное влияние на величину Y (r_ух5 = 0,303).

Х₁, Х₂, Х₆, Х₇, Х₈ не оказывают влияния на величину Y (r_ух2 = 0,010, r_ух6 = = -0,104, r_ух7 = 0,119, r_ух8 = -0,005).

3) Построим уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов, в линейной форме.

Линейная регрессия Уравнение будет иметь вид:

у (х) = -0,505 — 0,966х₁ + 0,824х₂ + 0,390х₃ + 0,191х₄ + 0,091х₅ + 5,835х₆ + 1,244х₇ — 0,011х₈

Линейная или близкая к ней связь между факторами называется мультиколлинеарностью. Считают явление мультиколлинеарности в исходных данных установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя переменными больше 0,7.

Рассмотрим матрицу парных коэффициентов корреляции между факторами Х_j, включенными в дальнейшем анализ.

Матрица парных корреляций Явление сильной коллинеарности наблюдается между факторами:

Х₁ и Х₃, т.к. r_х1х3 = 0,872 > 0,7

Х₁ и Х₄, т.к. r_х1х4 = 0,917 > 0,7

Х₃ и Х₄, т.к. r_х3х4 = 0,966 > 0,7

4) Построим модель у = f (х₃, х₆, х₇, х₈, z) в линейной форме.

Результаты регрессионного анализа Модель в линейной форме будет иметь вид:

у (х) = -5,64 + 0,715х₂ + 0,475х₃ + 6,786х₆ + 1,284х₇ — 0,037х₈

Х₆ (тип дома), значимо воздействует на формирование цены квартиры в модели.

5) Оценим статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия; нулевую гипотезу о значимости уравнения регрессии проверим с помощью F-критерия; оценим качество уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации R².

Характеристика остатков линейной регрессии

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 99,1% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Табличное значение F-критерия (F_крит) при доверительной вероятности 0,95 при n₁ = 8 и n₂ = 58 составляет 2,10. Проверка гипотезы о значимости уравнения регрессии проводится на основании:

если F_факт > F_крит, то модель статистически значима;

если F_факт < F_крит, то модель статистически незначима.

F_факт > F_крит, значит модель статистически значима, т. е. пригодна к использованию.

Оценим с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии.

Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимости и степени свободы k = 69−8-1 = 60 составляет 2,0003.

Если t_расч > t_табл, то коэффициент статистически значим.

Характеристика модели

t_b0 = 3,2687 > 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически значим;

t_b1 = 0,1498 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;

t_b2 = 2,2212 > 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически значим;

t_b3 = 3,9654 > 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически значим;

t_b4 = 1,1151 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;

t_b5 = 0,9069 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;

t_b6 = 7,9759 > 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически значим;

t_b7 = 1,5814 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;

t_b7 = 0,6630 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;

6) существует ли разница в ценах на квартиры, расположенных в северной и южной частях Санкт-Петербурга?

t_b2 = 2,2212 > 2,0003, t_b3 = 3,9654 > 2,0003 и t_b6 = 7,9759 > 2,0003,

значит факторы Х2 (район города), Х3 (общая площадь квартиры) и Х6 (тип дома) значимо влияют на формирование цен на квартиры.

Анализ показал, что разница в ценах на квартиры, расположенные в северной и южной частях Санкт-Петербурга существенна, т.к. t_b2 = 2,2212 > 2,0003.