Методы построения доверительных интервалов

В результате освоения материала данной студент должен:

знать

• • методы построения доверительных интервалов для нормального и других распределений;
• • теорему об асимптотически нормальном распределении функции случайной величины;

уметь

• строить доверительные интервалы для параметров произвольного распределения;

владеть

• навыками построения доверительных интервалов статистического параметра.

Основные понятия

Точечные оценки неизвестного параметра дают его приближенное значение. Требования к качеству оценки приводят к рекомендациям делать оценки по возможности несмещенными, состоятельными и эффективными, что позволяет приблизить оценку к истинному значению параметра, но не дает возможности совершенно избежать погрешности.

Другой подход к оценке неизвестного параметра — введение доверительного интервала, который накрывает неизвестный параметр с заданной вероятностью у. Пусть 0_Х и 0₂ — концы интервала (доверительные границы), внутри которого находится значение неизвестного параметра 0. Тогда 0_а < 0 < 0₂.

Обычно доверительный интервал строится вокруг статистической точечной оценки 0. В случае симметрии и введении половины длины доверительного интервала 8 (точности оценки) доверительный интервал представляется в виде 0−8<0<0 + 8.

При построении интервальных оценок, так же как и при точечном оценивании, возникает проблема управления качеством оценки. Рассмотрим, что входит в это понятие.

• 1. Качество оценки зависит от ее надежности. Какова вероятность у (используется термин «надежность оценивания у»), что оцениваемый параметр попадет в доверительный интервал? Надежность и длина интервала — противоречивые требования: чем выше надежность оценивания, тем шире интервал.
• 2. Вычисление границ интервала 9_а и 0₂ требует знания закона распределения случайной величины, в формуле которого может содержаться неизвестный параметр 0. Возникает необходимость решать задачу типа 0₁(0)<0<0₂(0), что часто нельзя сделать аналитически. Есть две возможности преодолеть это затруднение. Можно заменить неизвестное значение параметра 0 в законе распределения на вычисленное по выборке. Другой подход основан на том, что при больших п можно использовать факт асимптотической нормальности оценки О и тем самым преодолеть необходимость использования самого параметра 0 при построении доверительного интервала.
• 3. Величина теоретической дисперсии влияет на доверительные границы. С ростом дисперсии границы доверительного интервала раздвигаются.

Есть только один параметр, позволяющий увеличить надежность оценивания, уменьшить длину доверительного интервала, уменьшить влияние дисперсии. Этим параметром является объем выборки.