Распределение Стьюдента (t-распределение)

Пусть набор независимых случайных величин ?₀, ?₂, •••> ^П°Д" .

чиняется нормальному распределению: ~ N (0, 1), где i = 0,1, 2, п.

Распределение Стьюдента (St_n) с п степенями свободы, или t-распределение, — непрерывное, сосредоточенное на (-оо; оо) распре;

Р

деление вероятностей случайной величины t" -. ^so =.

V П i=l.

Плотность распределения Стьюдента имеет вид.

Этот результат был получен английским статистиком В. Госсетом (псевдоним «Стьюдент») в 1908 г.

Свойства распределения Стьюдента.

• 1. Математическое ожидание вследствие симметрии равно нулю, и все нечетные моменты также равны нулю: Mtj =0, если к — нечетное число, меньшее п.
• 2. Дисперсия Dt_n = ^П, существует при п > 2.

п-2

3. При большом числе степеней свободы распределение случайной.

^d (п

величины t_n асимптотически нормально: t" ->N10, —- I -> N (0,1).

? Случайная величина t_n представляет собой выражение, в котором сумма случайных величин упрятана под корень в знаменателе. Поэтому проведем доказательство в лоб, а именно, найдем предел t_n при п —> оо, используя вначале второй замечательный предел, затем формулу Стирлинга:

• 4. Из построения статистики t_n следует, что плотность распределения не зависит от дисперсии а² случайных величин.
• ?Пусть r|₍~N (0, а²). Перейдем к случайной величине^ = —~N (0, 1).

о

Получим.

• 5. Плотность является симметричной относительно точки х = О, поэтому случайная величина т" = -t_n распределена также по Стьюденту.
• 6. Распределение Стьюдента t" =, ⁴⁰ = может быть переписано

V п i=i.

с с использованием распределения Пирсона как t_n = ^ .

Vn^X" .

7. Функция распределения.

График плотности распределения Стьюдента при разных значениях п представлен на рис. 13.4. В силу асимптотической нормальности распределения Стьюдента значения критических точек при больших значениях п следует смотреть в таблице Лапласа. Таблица функции распределения Стьюдента для небольших значений п (п < 120) связывает значения вероятностей р и соответствующих им критических точек х_кр соотношениями P (t" > х_кр1) = р для односторонней области и Р (| t_n > ^{> х}кр2^ ⁼ Р Д^ля двусторонней области.

Замечание 13.1. Нам известно, что среднее выборочное значение х при п —> оо (по крайней мере при п > 100) ведет себя как нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием а q2 .— х — а

и дисперсией —, т. е. уп—N (0,1). При п < 100 применение нор;

п а

мального распределения приводит к погрешностям, давая ошибку тем большую, чем меньше п. Ниже будет показано, что при малом числе измерений для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез следует руководствоваться распределением Стьюдента: Тп ^Х_Л ^Q ~St_n_i.

с.

Рис. 13.4. Плотность распределения Стьюдента при разных п и сравнение с плотностью стандартного нормального распределения.

Замечание 13.2. В квалификационных работах по эконометрике часто можно встретить использование нормального распределения вместо распределения Стьюдента. На рис. 13.5 построена вызванная этим относительная погрешность, выраженная в процентах. Даже при п = 100 погрешность может составлять 10—12% при достижимых в реальности дисперсиях. Если 50 < п < 100, ошибки могут достигать 25%. При 1 < п < 30 можно получить лишь качественные результаты.

Рис. 13.5. Погрешность в расчетах, обусловленная использованием нормального распределения вместо распределения Стьюдента.