Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Ниже будут рассмотрены доверительные интервалы для параметров нормального распределения, затем — для параметров других распределений. Удобно этот материал представить в виде теоретических задач.

Теоретическая задача 14.1. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии.

Пусть наблюдается случайная величина ~ N (a, ст²). По выборке х_ь х₂, …, х_п определить доверительный интервал для математического ожидания.

Решение. Среднее значение х является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой математического ожидания а, распределенной нормально, кроме того, х является случайной величиной с нормальным распределением: х ~ N (Mx, Dx) = N^a, — j. Поэтому разумно построить доверительный интервал на основе распределения х. Слу- «х-Мх х-а г

чайная величина ц=—-vn имеет стандартное нормальное.

?jDx а

распределение: Г| ~ iV (0, 1). Введем надежность у, т. е. вероятность, с которой параметр а попадет в доверительный интервал. Надежности у соответствует некоторое критическое число х_кр из таблицы функции Лапласа, такое что Р{ | г| | < х_кр} = у. Другими словами, вероятность случайной величине г| попасть в промежуток (-х_кр; х_кр) равна у. Тогда.

Выбирая квантиль х_кр из равенства Фо (х_кр) = —, получим.

Итак, математическое ожидание а с вероятностью у находится в интервале.

или, что-то же самое, доверительный интервал с серединой в точке х с вероятностью у содержит значение а. Длина интервала 26 = 2-^х, ф.

Vn.

зависит от вероятности у через х_кр. Большая дисперсия приводит к растягиванию интервала. Рост объема выборки п сжимает интервал, делая оценку точнее.*.

Замечание 14.1. Вместо обозначения границы х_кр можно ввести обозначение х_а, чтобы подчеркнуть тот факт, что на графике плотности.

распределения слева и справа отделяются площадки величиной по а/2. Величина, а называется уровнем значимости. Справедливо равенство, а + у = 1.

Введенные критические значения х_кр тесно связаны с приятыми в статистике разными формами записи и названиями границ, на которых строятся доверительные интервалы.

Квантилем уровня р называется критическое значение х_, которое является решением уравнения Р (?, < х_р) = Р^(х_р) = р. Например, в теоре-. ". _Л а 1+у тическои задаче 14.1 РСг|<�х_кр) = —+у=^, т. е. х_кр есть квантиль 1 + у уровня —Y~.

Квантили х_{0 25}, Xq so, х_0;75 называются квартилями, причем х_{0 2}s есть нижний квартиль, х_{0 75} — верхний квартиль, величина х_{0 75} — х_{0 2}5 называется интерквартильным размахом. Медиана и интерквартильный размах иногда используются вместо МЬ, иО^в случае невозможности вычисления последних.

Квантилих₀д, х₀₂,…, х₀₉ называются децилями, х₀₀₁, х₀₀₂,…, х_{0 99} — перцентилями (процентилями, центилями). Например, медиана является 50-й перцентилью, а первый и третий квартиль — 25-й и 75-й перцентилями.

Теоретическая задача 14.2. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии.

Решение. По-прежнему будем опираться на х. Теоретическая дисперсия неизвестна, но может быть найдена выборочная дисперсия при неизвестном математическом ожидании и исправлена на S%. Тогда слу- х-а г-

чаиная величина р=——vn имеет другое распределение, а именно,.

S_n

распределение Стьюдента с п — 1 степенями свободы.

Таблица Стьюдента устроена иначе, чем таблица Лапласа. Для числа степеней свободы п — 1 и уровня значимости, а в таблице указана вероятность Р{ | г| | > х_кр. _п__а} = а при двусторонней критической области. В силу соотношения у + а = 1 это равенство равносильно равенству.

Pi hi <*K_P;"-l}=Y;

Последовательность работы с таблицей в нашей задаче такова: для заданного у вычислим, а = 1 — у по таблице Стьюдента найдем х_кр. _п-1 для двусторонней области и числа степеней свободы п — 1. Получим.

-*кр;л-1 <�Х_кр;п-1, откуда.

т.е. математическое ожидание с вероятностью у (уровнем значимости а).

" (- 4 _ S_n)

будет находиться в интервале х—px^-^i; х-ь-^х™.^]. ?

_ч Vn Vn '.

Теоретическая задача 14.3. Найти доверительный интервал для неизвестной теоретической дисперсии нормально распределенной случайной величины при известном математическом ожидании а.

Решение. Статистическая точечная оценка параметра ст² есть выборочная дисперсия. При поиске доверительного интервала для дисперсии при известном математическом ожидании а разумно пользоваться.

1 «.

выборочной дисперсией ст^._п =—У (х, — - а)². Эта оценка, как мы устано;

' п _i=1

вили, является несмещенной, состоятельной и асимптотически эффек;

пст² «.

тивной. Связать а² и а² можно с помощью случайной величины р =-—,.

а²

имеющей известное распределение. Действительно, поскольку случай- " (х- - а)²

ная величина р = У——-— распределена по закону Пирсона с числом.

i=i.

степеней свободы п, то.

Таблица Пирсона может быть устроена подобно таблице Лапласа. Распределение Пирсона не обладает симметрией. Для числа степеней свободы п в таблице указана вероятность Р{г < х_кр}. Обрезав оба «хвоста» распределения, на каждый из которых случайная величина попадает с вероятностью —, получим с надежностью у (рис. 14.1).

пст² «.

Решая неравенство х_кр1." <-— <*_Кр2-п относительно а², получим а²

Рис. 14.1. Размещение критических значений доверительного интервала на графике плотности распределения.

/ АО, А О.

— П<�П.;п ^пста;п Таким образом, интервал -;- с уровнем значимости а.

. ^кр2; и ^кр1; п ,

(с надежностью у) накрывает неизвестный параметр о². ?

Замечание 14.2. Критические точки х_кр1 и х_кр2 можно представить как квантили соответствующего уровня, используя индексы надежности у или уровня значимости а: х_кр1 =х_а =х_х__у; х_кр2 =х _а =х_1+у.

2 ^1_2

Теоретическая задача 14.4. Найти доверительный интервал для неизвестной дисперсии нормально распределенной случайной величины при неизвестном математическом ожидании.

Решение. Выборочная дисперсия при неизвестном математическом ожидании, как известно, вычисляется с использованием х. Рассмотрим п (х- - х)²

случайную величинут| = У—¹——:

;=i.

Повторяя преобразования предыдущей задачи, получим Р{х_кр1. _п_₂ < < 11 = Y;

" «(n-l)S²

Случайная величина г| попадет в промежуток x_Kni _n_i <-т—¹-<

а²

^<�Лгкр2;п-1- Решая неравенство относительно а², приходим к доверительному интервалу.

Теоретическая задача 14.5. По выборке из п наблюдений нормально распределенной случайной величины с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией построить доверительный интервал для (п + 1)-го наблюдения.

Решение. Здесь необходимо, используя любые вычисляемые по п наблюдениям выборочные характеристики, спрогнозировать, в какой области значений с заданной вероятностью следует ожидать следующее (п + 1)-е наблюдение.

(о²Л

Известно, что x~N а, —, х"₊₁ ~ JV (a, а²). Алгебраическая сумма V ^п

случайных величин, принадлежащих нормальному распределению,.

( ст² ^

также нормальна, т. е. х_п+1-х ~ N1 0, ст² +—. Тогда случайная вели;

V п.

чина = ,^X" ^{+1 Х}= ~ N (0,1). Построенная на ее основе другая случай;

ЯР

ная величина г|= .——⁰ имеет распределение Стьюдента с п — 1 сте;

пенью свободы.

Случайная величина

с надежностью у попадет в интервал | г| | < х_{кр; п}__1; т. е. Р{ц < х_{кр; n}_j} = у. г. ^xn+i -х

Решая неравенство —. <�х_кр относительно х"₊₁, получим

Ч^{1 + 1}п

По выборке из п наблюдений нормально распределенной случайной величины можно построить для п + 1 наблюдения:

• доверительный интервал с известным математическим ожиданием и известной дисперсией

• доверительный интервал с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией.

• доверительный интервал с известным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией.

Пример 14.1. Молочный комбинат выпускает творог с номинальным весом 180 г. Автомат расфасовки творога имеет стандартное отклонение 3 г. Взвешивание коробки с 10 пачками творога показало вес нетто 1,810 кг. Найти доверительный интервал для среднего веса с надежностью 95%.

Решение. Средний вес генеральной совокупности есть математическое ожидание а. Интервал разброса а при п = 10ист = 3 г определяется соотношением х--2= х_кр <�а<�х + -2=х_кр. Величинах_кр находится из равенства Ф₀(х_кр) = л/п %/п.

0 95.

= =0,475 и равна х_кр= 1,96. Получаем доверительный интервал 181;

—5=1,96<�а< 181+ -Д=1,96' ^или i⁷⁹-^{1 г} < ^а < ¹⁸²>^9г— Ло_Щ._.