Функция. 
График функции. 
Монотонность функции. 
Непрерывность функции

Функция и ее график

В этом параграфе будем по умолчанию рассматривать функции f:X —> Y, заданные на X, т. е. будем считать, что D _f = X .

Определение 3.15.Для функции /: X —>У множество

назовем графиком функцииf, а равенство y = f (x), х е Х₉ назовем уравнением этого графика (ср. [2, с. 106]).

Если, например, X х Y cz R х /?, то каждую пару (а, Ь), где b = f (a), можно считать координатами точки Р (а, Ь) в некоторой системе координат на плоскости. Поэтому можно говорить, что график Gty функции /: /?—"/?

в каждой системе координат представляется некоторым множеством Lf точек плоскости. Это множество L_f мы будем называть представлением (изображением) графика Gr_f функции / в данной системе координат, а уравнение у = /(*), х е X R, графика Gr_f будет при этом и уравнением множества L_f точек P{a₉b)₉ b = f{a), в данной системе координат. Например, функция /:[0,2л)—>/?, где f (x) = ax + b, имеет график Grf — {(х, ял' + ft): хе[0, 2я)} (^RxR. Поэтому в декартовой системе координат этот график представлен отрезком прямой без одной концевой точки, а в полярной системе координат — частью спирали Архимеда^[1].

Для каждого а е X при отображении f:X—>Y существует отношение f~':f (a)->a, называемое обратным к / на а, т. е. (./(«)) = а и f{f~^x{b))-b- /(а). Возникает следующий вопрос: для какой функции /: X —> Y обратное отношение /^-|: Y —> X будет функцией для всех f (x), х е XI Из определения функции следует, что отношение /"‘, рассматриваемое как подмножество в YxX, должно быть функционально для всех у = f (x), хеХ, т. е. полный образ J'~'(b) должен быть одноэлементным множеством для каждого b е f (X). Итак, справедливо Утверждение 3.5. Функция /: X —» Е обратима на X, если из f (t) = /(х) = у следует х — t для каждого х е X.

Обратимую функцию называют еще инъективной, или инъекцией (из X в У). Функцию /: Х-> Y называют сюръективной или сюръекцией, если f (X) = Y, т. е. сюръекция есть «отображение на Y». Наконец, функция f:X —>Y называется биективной или биекцией, если она является обратимым отображением на Y. На рис. 3.10 приведены графики таких функций.

Рис. 3.10.

Еще раз подчеркнем, что график Gty функции f: X —>Y определяется только самой функцией, а множество L_f зависит от употребляемой для представления графика Gr_f системы координат.

• [1] Архимед (около 287−212 гг. до н. э.) — древнегреческий математик, физик, механик, автор многочисленных изобретений и открытий: архимедов винт, рычаг Архимеда, военные метательные машины ит. п. Архимед первым вычислил площадь параболического сектора, предвосхитив открытое19 столетий спустя интегральное исчисление, он же впервые в науке оценил погрешность вычисления значений числа К и опроверг мнение о существовании самых больших чисел аксиомой Архимеда: отложив достаточное число раз меньший из двух отрезков, всегда можно получить отрезок, превосходящий больший из них.