Линейные регрессионные модели

КонтрольнаяПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Из свойств корреляции известно, что если > 0, то связь прямая (); если < 0, то связь обратная). Факторы (Х1), (Х3), (Х2) имеют обратную связь с ицпу, то есть если индекс цен платных услуг растет, они падают, и наоборот. Факторы (Х4), (Х5), (Х6), (Х7), (Х8) имеют прямую связь с индексом цен платных услуг (вместе с ним растут или падают). Построим графики основных типов тренда. Для выявления… Читать ещё >

Линейные регрессионные модели (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Решение контрольной работы по эконометрике

Используя данные Федеральной службы государственной статистики России (за двенадцать месяцев) из периода 2004 — 2005гг., следует:

1. Оценить влияние факторов (X₁_, X₂_, X₃_, X₄_, X₅_, X₆_, X₇_, X₈) на изучаемый показатель (Y) и друг на друга с помощью коэффициентов линейной корреляции

Таблица 1.


в% к предыдущему периоду	индексы цен платных услуг	индексы цен производителей	добыча полезных ископаемых	обрабатывающие производства	производство и распределение электроэнергии газа и воды	индексы тарифов на грузовые перевозки	железнодорожный транспорт	автомобильный транспорт	трубопроводный транспорт
	Y	X₁	X₂	X₃	X₄	X₅	X₆	X₇	X₈
	ицпу	пр	дпи	оп	прэгв	гп	жт	ат	тт
июл.04	101,3	101,2	102,9	100,7	100,1	102,1		101,3
авг.04		101,8	103,9	101,4	100,2	100,2		100,4
сен.04	100,6	103,1		103,1		100,3		101,9	100,6
окт.04	101,2	101,8	103,6	101,4	99,9	95,4		101,5	87,4
ноя.04	100,8		104,5	101,5		100,7		101,9	101,1
дек.04		100,1	100,8	99,8	99,9	102,1		100,6	105,8
янв.05	108,8	100,5	95,7	100,9	104,9	113,9	108,8	103,2	122,6
фев.05	102,2	101,3	98,4	100,9	106,3	100,1		100,8	100,1
мар.05	101,2	102,5	109,6		100,3			100,3	99,9
апр.05	100,8	102,5	108,9	101,1	100,3	103,5			107,7
май.05	100,8	102,7	109,7		100,1	100,3		100,5
июн.05	100,9	100,1	99,3	100,3	100,1	101,7		100,6	103,7

Коэффициент линейной корреляции, с помощью которого можно оценить влияние факторов (X₁_, X₂_, X₃_, X₄_, X₅_, X₆_, X₇_, X₈) на изучаемый показатель (Y) и друг на друга, вычисляется по формуле:

где — среднее квадратическое отклонение фактора .

— среднее квадратическое отклонение изучаемого показателя. Если =0, то факторы не могут влиять на изучаемый показатель, так как связь между ними будет отсутствовать. Чем ближе к 1, тем сильнее связь между факторами и изучаемым показателем. Рассмотрим сначала как влияет X₁ на изучаемый показатель Y. Произведем предварительные расчеты в таблице:

Таблица 2.



июл.04	101,3	101,2	10 251,56	10 261,69	10 241,44
авг.04		101,8	10 281,8		10 363,24
сен.04	100,6	103,1	10 371,86	10 120,36	10 629,61
окт.04	101,2	101,8	10 281,6	10 241,44	10 363,24
ноя.04	100,8		10 281,6	10 160,64
дек.04		100,1	10 110,1		10 020,01
янв.05	108,8	100,5	10 934,4	11 837,44	10 100,25
фев.05	102,2	101,3	10 352,86	10 444,84	10 261,69
мар.05	101,2	102,5		10 241,44	10 506,25
апр.05	100,8	102,5		10 160,64	10 506,25
май.05	100,8	102,7	10 352,16	10 160,64	10 547,29
июн.05	100,9	100,1	10 100,09	10 180,81	10 020,01
Сумма	1220,6	1219,6	124 023,03	124 211,94	123 963,3
Среднее значение	101,71 667	101,6333	10 336,96666	10 350,995	10 330,27

Из таблицы находим среднее квадратическое отклонение фактора :

==0,9 679 876;

среднее квадратическое отклонение изучаемого показателя :

==2,1 718 655.

Полученные значения подставляем в формулу:

==-0,41 056

Коэффициент линейной корреляции равен 0,3? = ?0,7. Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором умеренная.

Аналогично оценивается влияние остальных факторов на изучаемый показатель (Y).

Коэффициент линейной корреляции равен 0,3? = ?0,7. Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х2 умеренная.

Коэффициент линейной корреляции равен = < 0,3. Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х3 слабая.

Коэффициент линейной корреляции равен 0,3? = ?0,7. Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х4 умеренная.

Коэффициент линейной корреляции равен 0,7 < = Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х5 близка к линейной (тесная).

Коэффициент линейной корреляции равен 0,7 < = Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х6 близка к линейной (тесная).

Коэффициент линейной корреляции равен 0,7 < = Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х7 близка к линейной (тесная).

Коэффициент линейной корреляции равен 0,7 < = Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х8 близка к линейной (тесная).

Влияние факторов друг на друга рассчитывается аналогично. Все полученные данные представим в таблице.

Таблица 3.


	Y	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
Y
X1	— 0,41 056
X2	— 0,62 049	0,817 335
X3	— 0,14 167	0,750 202	0,304 572
X4	0,684 791	— 0,31 544	— 0,63 666	— 0,13 627
X5	0,863 179	— 0,39 974	— 0,4795	— 0,21 126	0,494 364
X6	0,984 045	— 0,36 981	— 0,55 741	— 0,9 167	0,560 132	0,89 804
X7	0,719 717	— 0,8 272	— 0,45 151	0,36 154	0,360 766	0,610 648	0,762 909
X8	0,752 448	— 0,40 384	— 0,42 926	— 0,26 069	0,440 197	0,978 356	0,790 727	0,493 109

Самая сильная связь наблюдается между индексом цен платных услуг и железнодорожным транспортом. Самая слабая связь наблюдается между обрабатывающим производством и производством и распределением электроэнергии, газа и воды.

2. Используя процедуру выбора факторов, предложить и построить линейные регрессионные модели изучаемого показателя. Оценить качество моделей

При процедуре выбора факторов должны выполняться следующие условия:

Факторы должны быть количественно измеримы или допускать кодировку. В нашем случае это условие выполняется.

Факторы должны «объяснять» поведение изучаемого показателя согласно принятым положениям экономической теории. Это должно подтверждаться индексами корреляции факторов с показателями. Это условие тоже выполняется, так как для всех факторов индексы корреляции рассчитаны.

Факторы не должны находиться в точной функциональной связи (допустим, коллинеарной). Включение в модель факторов с индексами корреляции, близкими по модулю к единице может привести к нежелательным последствиям:

1) факторы будут дублировать друг друга, и будет затруднена экономическая интерпретация параметров модели;

2) система уравнений для определения параметров может оказаться плохо обусловленной и повлечь ненадежность полученных уравнений регрессии т нежелательность их использования для анализа и прогноза.

При наличии корреляции ?0,7 между факторами один из них следует исключить. Оставить рекомендуется тот, который при достаточно тесной связи с показателем имеет более слабую связь с другими факторами.

Рассмотрим таблицу 3, используя метод исключения, отберем факторы для построения регрессионных моделей. Так как связь между факторами должна быть слабой, исключим все факторы, коэффициент корреляции которых больше или равен по модулю 0,3. Для построения модели оставляем факторы сильно или умеренно влияющие на данный показатель, то есть коэффициент корреляции должен быть больше или равен 0,3.

Следующее необходимое условие при построении регриссионных моделей: Число включаемых факторов должно в 6 раз меньше объема наблюдений, по которым строится регрессия. N-число наблюдений в нашем случае равно 12. Тогда m? , то есть m=1 или m=2.

Число параметров при факторах в линейной модели совпадают с их количеством: m=p.

Итак, можно предложить следующие регрессионные модели:

2. .

3. .

Используя инструмент РЕГРЕССИЯ, оценим 1 модель.

1 этап. Оценка значимости модели в целом.

Таблица 4.


ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,985 324 602
R-квадрат	0,970 864 572
Нормированный R-квадрат	0,963 580 715
Стандартная ошибка	0,453 164 887
Наблюдения

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		54,74 441	27,3722	133,289 901	0,72
Остаток		1,642 867	0, 205 358
Итого		56,38 727
Модель линейной регрессии с двумя фактором Х1 и X6 значима в целом согласно F-критерию (F=133,2899) с приемлемым уровнем значимости 0,72? 0,05 Итак, получаем модель
	Коэф-ты	Станд. ошибка	t-стат.	P-Значение
Y-пересечение	27,18 887 556	17,92 439	1,516 864	0,16 777 466
Х1	— 0,1 220 023	0,146 648	— 0,83 194	0,42 957 614
Х6	0,86 279 739	0,58 131	14,84 242	0,418

Согласно критерию Стьюдента 2 параметра модели a=27,18 и =-0,122 незначимы с приемлемыми уровнями >0,05 и >0,05. Следовательно, эта модель неудачна и не может быть использована к анализу и прогнозу индекса цен платных услуг. Следует изменить спецификацию модели (необходимо убрать фактор Х1).

Используя инструмент РЕГРЕССИЯ, оценим 2 модель.

1 этап. Оценка значимости модели в целом.

Таблица 5.


ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,984 045
R-квадрат	0,968 344
Нормированный R-квадрат	0,964 827
Стандартная ошибка	0,445 346
Наблюдения

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		54,60 227 273	54,60 227	275,3 055 768	0,468
Остаток		1,785	0, 198 333
Итого		56,38 727 273
Модель линейной регрессии с фактором X6 значима в целом согласно F-критерию (F=275,306) с приемлемым уровнем значимости 0,468? 0,05 Итак, получаем модель 2 этап. Оценка параметров модели.
	Коэф-ты	Станд. ошибка	t-стат.	P-Значение
Y-пересечение	12,98 182	5,351 909 883	2,425 642	0,38 255 004
X6	0,880 682	0,5 307 763	16,59 233	0,468

Согласно критерию Стьюдента 2 параметра модели a=12,98 и b=0,88 значимы с приемлемыми уровнями <0,05 и <0,05.

3 этап. Проверка наличия необходимых свойств у остатка модели.

Таблица 6.


ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Стандартные остатки
	101,05	— 0,05	— 0,118 345 267
	101,05	— 0,45	— 1,65 107 404
	101,05	0,15	0,355 035 801
	101,05	— 0,25	— 0,591 726 335
	101,05	— 0,05	— 0,118 345 267
	108,8	0,132	0,3 128
	101,05	1,15	2,721 941 143
	101,05	0,15	0,355 035 801
	101,05	— 0,25	— 0,591 726 335
	101,05	— 0,25	— 0,591 726 335
	101,05	— 0,15	— 0,355 035 801

График 1.

Проверяем случайность остатков Первое, что требуется, это чтобы график остатков располагался в горизонтальной полосе, симметричной относительно оси абсцисс. Согласно предпосылкам МНК возмущение должно быть случайной величиной с нулевым математическим ожиданием. Это имеет место для получения однофакторной регрессии. График остатка (возмущения, ошибки) располагается в горизонтальной полосе. Имеется большое количество локальных экстремумов (максимумов и минимумов). -значит остатки случайные.

Согласно следующей предпосылке остатки должны быть равноизменчивы. Для проверки этой предпосылки используем в Microsoft Excel инструмент «Среднее значение» .

— 0,6.

Проверка на гомоскедастичность по методу Гольдфельда-Квандта невозможна, так как недостаточно наблюдений (должно быть n>12m) /

Проверим отсутствие автокорреляции остатков. Для этого чаще всего используют критерий Дарбина Уотсона (d-критерий):

находится в Microsoft Excel при помощи инструмента «СУММКВРАЗН»

=3,215

берется из таблицы 4.1 «SS» / «остаток»

1,785

d=.

Критерий Дарбина Уотсона (d-критерий): n=12, m=1,, dl=0,97,du=1,33

I dl II du III IV 4-du V 4-dl VI

0 0,97 1,33 2 2,67 3,03 4

d=1,801III, IV. Значит нет оснований отклонить предположение об отсутствии автокорреляции соседних остатков по d-критерию с уровнем значимости .

Следующее необходимое условие: остатки должны иметь распределение Гаусса. можно ограничиться критерием размахов (RS — критерий).

— стандартная ошибка модели

=0,445 346.

находится в Microsoft Excel при помощи функции «МАКС» .

=1,15.

находится в Microsoft Excel при помощи функции «МИН» .

=-0,45.

RS=3,59

Критерий размахов, RS — критерий: n=12, б =0,05, a=2,8, b=3,91.

Если a < b, то остатки имеют нормальный закон распределения с уровнем б =0,05.

2,8 <3,59 < 3,91.

Вывод: Все предпосылки регрессионного анализа выполняются с уровнем б =0,05. Значит модель успешно прошла проверку оценки ее качества.

Используя инструмент РЕГРЕССИЯ, оценим 3 модель.

1 этап. Оценка значимости модели в целом.

Таблица 7.


ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,863 178 866
R-квадрат	0,745 077 754
Нормированный R-квадрат	0,71 675 306
Стандартная ошибка	1,263 784 889
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		42,1 290 252	42,0129	26,30 488 273	0,620 555
Остаток		14,37 437 021	1,597 152
Итого		56,38 727 273
Модель линейной регрессии с фактором X5 значима в целом согласно F-критерию (F=26,304) с приемлемым уровнем значимости 0,468? 0,05 Итак, получаем модель
	Коэф-ты	Станд. ошибка	t-стат.	P-Значение	Нижние 95%
Y-пересечение	55,68 196 551	8,991 138 974	6, 192 982	0,16 021	35,34 258 057
Х5	0,453 226 954	0,88 368 512	5,128 829	0,620 555	0,253 323 338

Согласно критерию Стьюдента 2 параметра модели a=55,68 и b=0,453 значимы с приемлемыми уровнями <0,05 и <0,05.

3 этап. Проверка наличия необходимых свойств у остатка модели.

Таблица 8.


ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение	Предсказанное 101,3	Остатки	Стандартные остатки
	101,953 062	— 0,95 306 249	— 0,79 492 648
	101,1 406 289	— 0,540 628 945	— 0,450 925 589
	98,91 981 687	2,280 183 127	1,901 845 857
	101,3 219 197	— 0,521 919 726	— 0,43 532 068
	101,9 564 375	— 0,956 437 461	— 0,797 741 462
	107,3 045 155	1,495 484 488	1,247 347 611
	101,499 836	1,150 016 446	0,959 201 034
	101,46 609	0, 195 339 141	0,162 927 675
	102,5 909 552	— 1,790 955 196	— 1,493 792 616
	101,1 406 289	— 0,340 628 945	— 0,284 110 403
	101,7 751 467	— 0,87 514 668	— 0,729 938 779

График 2.

Проверяем случайность остатков. Согласно предпосылкам МНК возмущение должно быть случайной величиной с нулевым математическим ожиданием. Это имеет место для получения однофакторной регрессии. График остатка (возмущения, ошибки) располагается в горизонтальной полосе. Имеется большое количество локальных экстремумов (максимумов и минимумов). -значит остатки случайные.

Согласно следующей предпосылке остатки должны быть равно изменчивы. Для проверки этой предпосылки используем в Microsoft Excel инструмент «Среднее значение» .

— 0,26.

находится в Microsoft Excel при помощи инструмента «СУММКВРАЗН»

=29,573

берется из таблицы 4.1 «SS» / «остаток»

14,374

d=.

Критерий Дарбина Уотсона (d-критерий): n=12, m=1,, dl=0,97,du=1,33

I dl II du III IV 4-du V 4-dl VI

0 0,97 1,33 2 2,67 3,03 4

d=2,057III, IV. Значит нет оснований отклонить предположение об отсутствии автокорреляции соседних остатков по d-критерию с уровнем значимости. Следующее необходимое условие: остатки должны иметь распределение Гаусса. можно ограничиться критерием размахов (RS — критерий).

— стандартная ошибка модели

=1,263 784 889.

находится в Microsoft Excel при помощи функции «МАКС» .

=.2,280 183 127

находится в Microsoft Excel при помощи функции «МИН» .

=-1,790 955 196

RS=3,22 138

Критерий размахов, RS — критерий: n=12, б =0,05, a=2,8, b=3,91.

Если a < b, то остатки имеют нормальный закон распределения с уровнем б =0,05.

2,8 <3,22 138 < 3,91.

3. Предложить модели тренда изучаемого показателя. Оценить качество моделей

Линейный тренд у показателя связан с ситуацией, когда наибольшим является коэффициент автокорреляции первого порядка.

>0,7, при это, где a, bR.

При выборе модели тренда нельзя выбирать функцию тренда с числом параметров при факторе время больше шестой части n, то есть m>.

Существует несколько видов тренда (линейный, полиномиальный, степенной, логарифмический, гиперболический). Из них необходимо выбрать наилучший вид тренда.

Построим графики основных типов тренда. Для выявления наилучшего уравнения тренда определим параметры трендов. Результаты расчетов представим в таблице 9. Согласно, данным этой таблицы наилучшей моделью тренда является полиномиальный тренд, для которого значение коэффициента детерминации наиболее высокое.

График 3. Линейный тренд.

График 4. Полиномиальный тренд.

График 5. Степенной тренд.

График 6. Экспоненциальный тренд.

Таблица 9.


Тип тренда	Уравнение
Линейный		0,0016
Полиномиальный		0,1371
Степенной		0,0125
Экспоненциальный		0,0016

Итак, рассмотрим модель тренда. Но у показателя Y явно нет никакой тенденции (тренда), так как для =0.1371<0,3. Модель неудачна.

4. Используя значимые в целом и по параметрам модели (с приемлемым уровнем значимости), для которых выполняются все предпосылки метода наименьших квадратов (свойств остатков), получит прогнозы изучаемого показателя на два следующих месяца.

Модели, значимы в целом и по параметрам и для них выполняются все предпосылки МНК. По этим моделям можно строить прогнозы изучаемого показателя. Различают точечный и доверительный прогнозы показателя. Точечный прогноз получают путем подстановки в уравнение регрессии значения фактора x, и он имеет нулевую вероятность. Этот прогноз полезен при формировании доверительного прогноза.

Пусть в модели Х5 в последующих два будет увеличиваться на столько на сколько и в прошлом месяце 1,7% (в% к предыдущему периоду). Значит Х5 в следующем периоде уменьшится на 1%.

1,017*101,69 103,41

55,68+0,453*103,41=102,52.

Доверительная вероятность равна 95%

где

=1,59, =0,55, тогда

102,52−5,12*0,55??102,52+5,12*0,55

99,704??105,33.

4. Сравнить полученные прогнозы показателей с фактическими данными

Получили, что в последующих двух месяцах изучаемый показатель будет колебаться в интервале от 99,704 до 105,33.

В июле 0,99*101,69 100,67

55,68+0,453*100,67=101 100,9 (как и фактические данные).

В августе0,98*101,6999,65

55,68+0,453*99,65 100,82 (как и фактические данные)

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой