Механика твердого тела

Под твердым телом будем подразумевать абсолютно твердое тело, в котором расстояния между любыми двумя точками неизменны. Это типичная физическая абстракция и обоснована она тем, что во многих случаях деформациями тел при изучении их движения можно пренебречь.

Твердое тело можно представить как совокупность большого количества очень малых масс Дт" которые можно считать материальными точками. Каждая из этих элементарных масс может находиться под воздействием как внутренних сил, обусловленных взаимодействием с другими материальными точками тела, так и внешних сил. Поэтому к телу можно применять соответствующие результаты, полученные для систем материальных точек. Вот как, например, можно сформулировать теорему о движении центра масс твердого тела: центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, и к которой приложены все внешние силы, действующие на тело.

Вращение тела вокруг оси характеризуется угловой скоростью и угловым ускорением. Величина угловой скорости со определяется как производная от угла поворота ср по времени:

Направляем вектор со вдоль оси вращения так, чтобы направление вращения и направление со образовывали правовинтовую систему, как показано на рис. 16.

Изменение угловой скорости со временем определяется вектором углового ускорения (3:

Связь векторов угловой и линейной скорости дается выражением.

Здесь радиус-вектор г может быть проведен из любой точки 0, лежащей на оси вращения. Все три вектора из последнего выражения показаны на рис. 16.

Рис. 16.

Найдем момент импульса материальной точки, двигающейся по окружности. По определению L = [г, mv]. Величина вектора L:

Здесь было учтено, что R = г sin а. По направлению L совпадает с направлением со. Итак, L = mR²со = /со.

Величина I = mR² называется моментом инерции материальной точки.

Производная по времени равна.

В соответствии с законом изменения момента импульса (2.10) получаем:

Выражение (2.17) называется уравнением моментов для материальной точки, или основным законом динамики для вращения материальной точки вокруг неподвижной оси. Действительно, это выражение внешне очень похоже на выражение второго закона Ньютона.

Аналогом массы т в (2.17) является момент инерции /, аналогом линейного ускорения, а — угловое ускорение (3 и аналогом силы F — момент силы N. Эти и другие подобные аналогии в динамике твердого тела оказываются полезными.

Рассмотрим, как будет двигаться тело вокруг неподвижной оси под действием внешних сил. Поскольку твердое тело можно представить как систему материальных точек, удерживаемых внутренними силами на неизменных расстояниях друг от друга, то для него, как и для любой системы материальных точек, справедлив закон изменения момента импульса системы:

Момент импульса i-ой частицы L, = Дт, д²со, где г, — радиус окружности, по которой движется материальная точка Ат₍ относительно оси вращения тела. Направление всех L одинаковое, потому что в каждый момент времени угловые скорости всех точек тела со одинаковы:

Величина.

называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси. Сравнив выражение L = /со с выражением для импульса Р = mv, заметим, что при вращательном движении аналогом импульса является момент импульса L.

Отмеченные выше аналогии поступательного и вращательного движений имеют общий характер, и ими можно пользоваться для получения ряда формул вращательного движения. Так, заменив в выражении.

— mv²

для кинетической энергии Г =-массу на момент инерции /, а скорость v — на угловую скорость <�о, получим кинетическую энергию вращающегося вокруг неподвижной оси тела:

Подставим момент импульса тела L = /со в выражение (2.18):

Данное соотношение называют законом изменения момента импульса твердого тела или основным законом динамики (вторым законом Ньютона) для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Коротко выражение (2.20) называют еще уравнением моментов.