Типовые модели надежности и расчет параметров надежности

Показатели надежности изделия можно рассчитать, если известна модель надежности (закон распределения) и его основные параметры. В табл. 2.1 приведены основные показатели надежности для произвольной модели (закона) распределения случайных величин. В теории надежности применяются модели надежности (законы распределения отказов): нормальное, Вейбулла — Гнеденко, экспоненциальное и ряд других. На практике при анализе надежности широкое распространение нашел случай, когда интенсивность отказов полагается постоянной во времени. Этот случай характерен для изделий со случайными, не связанными между собой отказами, когда отказы не обусловлены деградацией прибора со временем. В этом случае X (t) = X, где X — некоторая постоянная величина.

Распределение вероятности отказов, соответствующее такой X— характеристике, называется экспоненциальным.

В табл. 2.2 приведены основные показатели надежности элемента для экспоненциальной модели надежности.

Как видно из приведенных формул, показатели надежности для надежности для экспоненциального распределения очень легко рассчитываются. Это одна из причин, определивших его популярность.

Определим гамма-процентную наработку до отказа при экспоненциальном распределении:

Таблица 2.2.

Формулы для основных показателей надежности при экспоненциальном законе распределения (модели надежности).

Положим у = 90%. Это означает, что не менее 90% приборов из рассматриваемой нами совокупности должны безотказно работать в течение времени t_y (или вероятность безотказной работы совокупности приборов в течение времени t_y должна быть не ниже 0,9). С учетом этого получим.

Полученный результат показывает, что гамма-процентная наработка при у = 90% составит всего примерно 0,1 от средней наработки до отказа.

Допустим, что мы имеем дело с аппаратурой, построенной на идентичных приборах, имеющих экспоненциальное распределение с интенсивностью отказов 10~⁷. Определим время безотказной работы элемента с вероятностью у = 99,9%.

Средняя наработка до отказа из расчета на один прибор составит.

Тогда время безотказной работы составит t_y = 10 005 ч, или почти один год и два месяца.

Экспоненциальное распределение характеризуется тем, что ожидаемый характер отказов не меняется на протяжении всего срока службы изделия. Предшествующее использование прибора никак не влияет на его работоспособность в последующие моменты времени, а определяется длиной интервала At. Это означает, что в каком бы месте числовой оси времени эксплуатации мы не выбрали временной интервал At, если к его началу отказов приборов не наблюдалось, то показатели надежности останутся такими же, какими были на начальный момент времени t = 0. Это свойство изделия однозначно определяет условия применимости экспоненциального распределения на участке II кривой рис. 2.4.

Пусть элемент имеет экспоненциальное распределение времени работы до отказа с параметром распределения А. = 2,5Ю^-5 1/ч. Вычисляем основные показатели надежности, используя формулы табл. 2.2.

1. Вероятность безотказной работы за время t = 2000 ч:

2. Вероятность отказа за время t₀ = 2000 ч:

3. Вероятность безотказной работы в интервале времени от t = 500 ч до t + t₀ = 2500 ч при условии, что элемент проработал безотказно 500 ч:

4. Вероятность отказа в интервале времени от t = 500 ч до t + t₀ = = 2500 ч при условии, что элемент проработал безотказно 500 ч:

5. Среднее время работы до отказа:

6. Время безотказной работы, с вероятностью у = 90%:

7. Плотность вероятности отказов:

Для описания показателей надежности изделий (полупроводниковых приборов и микросхем) на начальном этапе эксплуатации (участок I кривой рис. 2.4.) часто используется модель надежности в виде распределения Вейбулла — Гнеденко, характеризуемое двумя параметрами масштаба — а и Ь. Функция плотности вероятности этого распределения f_B(t) = abt^b~¹ exp (-at^b). Показатели надежности определяются в этом случае по уравнениям:

• • вероятность безотказной работы — P (t) = ехр (- t^b / а);
• • плотность вероятности отказов — cp (t) = (b / а) • t^b₁exp (- t^b / а);
• • интенсивность отказов — A.(t) = (b / а) ? t^b₁.

Особенностью этого распределения является то, что с изменением параметра формы Ъ изменяется и характер зависимости показателей надежности от времени. Например (табл. 2.3), при Ъ < 1 интенсивность отказов A,(t) будет монотонно убывающей функцией, при Ь > >1 — монотонно возрастающей. Данное свойство распределения позволяет соответствующим подбором параметров а и b обеспечить хорошее совпадение результатов опытных данных с аналитическими выражениями показателей распределения.

Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла — Гнеденко и реализуется при Ъ = 1.

Нормальное распределение отказов имеет место, когда действует значительное число случайных и малое число систематических факторов, приводящих к отказу, при этом все факторы взаимно независимы и имеется ряд доминирующих. Распределение характеризуется математическим ожиданием М и среднеквадратичным отклонением.

Функция плотности вероятности нормального распределения:

Показатели надежности в этом случае определяются по уравнениям:

• вероятность безотказной работы.

где Ф — табулированный интервал вероятностей (функция Лапласа);

• интенсивность отказов.

Графическое изображение зависимости показателей надежности от времени для рассмотренных распределений приведено в табл. 2.3.

Сравним показатели надежности для нормального и экспоненциального распределений при одном и том же значении средней наработки до отказа. Графическая зависимость вероятности безотказной работы от времени для этих двух распределений представлена на рис. 2.3.

Из рассмотрения данных зависимостей следует, что вероятность безотказной работы при экспоненциальном распределении с течением времени (при малых значениях t) уменьшается быстрее, чем при нормальном. По достижении момента времени, равного средней наработке до отказа, при экспоненциальном распределении вероятность безотказной работы Р (0 будет равна 0,37, а при нормальном распределении — 0,5. Это наглядно показывает, что более высокие показатели надежности в интервале времени (0; Т) имеют приборы, случайное время безотказной работы которых подчиняется нормальному распределению, чем приборы с экспоненциальным распределением.

Таблица 2.3

Зависимости показателей надежности для нормального и экспоненциального распределений

Вид распределения	Показатели надежности
	до.	Q (0.	Pit)	ДО.
Экспоненциальное.
Вейбулла — Гнеденко.
Нормальное.

Заштрихованный участок рисунка протяженностью 0,1 Т представляет собой промежуток времени, в пределах которого обеспечивается максимальный уровень вероятности безотказной работы. При вероятности безотказной работы 0,95 и выше различия между законами распределения становятся несущественными, поэтому применяется наиболее простое для описания показателей надежности приборов экспоненциальное распределение.

Рис. 2.3. Сравнение экспоненциальной и нормальной зависимостей вероятности безотказной работы.

А — экспоненциальное распределение;

В — нормальное распределение.