Изгиб. 
Основы функционирования систем сервиса. В 2 ч. Часть 1

При центральном растяжении, центральном сжатии и кручении прямых брусьев их оси остаются прямыми и после деформации. В отличие от этих видов деформаций при изгибе происходит искривление осей прямых брусьев.

Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Изгибающий момент — внутренний силовой фактор (внутреннее усилие), возникающий в поперечном сечении бруса, а именно момент относительно оси, расположенной в плоскости поперечного сечения и проходящей через его центр тяжести; он действует в плоскости, перпендикулярной поперечному сечению бруса.

В настоящем параграфе рассмотрен прямой изгиб, возникающий например, тогда, когда на прямой брус действует нагрузка в виде системы сосредоточенных сил, расположенных в одной плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции каждого поперечного сечения бруса; в этой же плоскости располагается изогнутая ось бруса.

Случай, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных центральных осей инерции этого сечения, называется косым изгибом.

Вид деформации, при которой в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, называется чистым изгибом; если же в поперечном сечении действует также поперечная сила, то такой вид деформации называется поперечным изгибом. Чистый изгиб и поперечный изгиб могут быть как прямыми, так и косыми.

Расчетные схемы и опоры брусьев.

Рассмотрим брус цилиндрической или призматической формы с прямолинейной осью. Брус испытывает плоский изгиб, если силы и моменты, изгибающие брус, расположены в плоскости, проходящей через его продольную ось и содержащей одну из главных центральных осей инерции сечения.

Горизонтальный брус, закрепленный на опорах и испытывающий деформацию изгиба, называется балкой. Различают статически определимые и статически неопределимые брусья.

Как известно, любое тело обладает в плоскости тремя степенями свободы. Поэтому для обеспечения геометрической неизменяемости системы (бруса) необходимо наложить на нее (в плоскости) три связи. Встречаются три типа статически определимых брусьев: шарнирноопертый (рис. 9.12, а), консольный (рис. 9.12, б) и консоль (рис. 9.12, в).

На рис. 9.12, г показан сложный статически неопределимый двухпролетный брус.

Различают три основных типа опор:

• 1) шарнирно-подвижная опора Л (рис. 9.12, д) может воспринимать вертикальную нагрузку и на ней, следовательно, возникает только вертикальная реакция;
• 2) шарнирно-неподвижная опора В (рис. 9.12, е) может воспринимать как горизонтальные, так и вертикальные усилия;
• 3) жесткое защемление С (рис. 9.12, ж) воспринимает вертикальную и горизонтальную нагрузки, а также моментную нагрузку.

Рассмотренные типы опор принято также изображать с помощью стерженьков (как показано внизу на рис. 9.12). Число стерженьков в схематическом изображении опоры равно числу составляющих опорной реакции и числу связей, накладываемых этой опорой на конструкцию.

Под действием внешних нагрузок в местах закрепления бруса возникают опорные реакции. Опорные реакции вместе с заданными нагрузками представляют уравновешенную систему внешних сил, действующих на конструкцию.

Типы опор и возникающие в них реакции представлены в табл. 9.1.

Для того чтобы брус не перемещался под действием нагрузки, он должен быть неподвижно соединен с основанием (рис. 9.13).

Рис. 9.12. Расчетные схемы и опорные закрепления брусьев при их изгибе.

Рис. 9.13. Соединение бруса с основанием.

Таблица 9.1

Типы опор и возникающие в них реакции

Эскиз	Наименование и характеристика опоры
	Защемление или заделка. Защемленный конец бруса не может ни перемещаться, ни поворачиваться. В опоре могут возникать: — вертикальная реакция R; — горизонтальная реакция Н; — реактивный момент М
	Шарнирно-неподвижная опора. Поперечное сечение бруса, проходящее через такую опору, не может смещаться поступательно. Опора не препятствует повороту бруса, следовательно, момент М = 0. В опоре могут возникать: — вертикальная реакция R; — горизонтальная реакция Н.
	Шарнирно-подвижная опора. Поперечное сечение бруса может смещаться поступательно параллельно опорной плоскости и может поворачиваться вокруг шарнира. Следовательно, момент М = 0 и горизонтальная реакция Н — 0. В опоре может возникать: — вертикальная реакция R

В этой системе возникают в общем случае три опорные реакции, поэтому данная система статически определимая, для которой можно составить три уравнения равновесия, из которых можно определить величину и направление всех реакций.

Для определения опорных реакций в статически определимом брусе достаточно составить три уравнения статики. Введем обозначения: Р — сосредоточенная сила; q — интенсивность распределенной нагрузки; М_е — сосредоточенный момент внешних сил (см. рис. 9.12, б). При отыскании опорных реакций распределенную нагрузку q заменяют равнодействующей сосредоточенной силой.

Если система является статически неопределимой, то необходимо применять специальные методы расчета.

Изгибающий момент. Рассмотрим балку (рис. 9.14, а), находящуюся в равновесии под действием четырех сил, каждая из которых равна Р.

Исследуем внутренние силы, действующие по произвольному сечению т—т на участке ВС.

Применим метод сечений. Если пренебречь силами веса, то уравнения равновесия для части балки, лежащей слева от сечения т—т (рис. 9.14, б), запишутся в виде.

где N_x и Q_y — проекции главного вектора внутренних сил на оси Ох и Оу соответственно; M_z — момент внутренних сил, действующих по сечению т—т со стороны правой части балки на левую.

Из третьего уравнения, системы (9.26) следует, что внутренние силы, действующие по поперечному сечению, расположенному на участке ВС, должны сводиться к моменту, равному по величине моменту (Р • а) внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Момент внутренних сил относительно оси Oz (нейтральная ось), проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения, численно равный моменту внешних сил, приложенных к балке по одну сторону от данного сечения относительно этой же оси, называется изгибающим моментом. Таким образом, на участке ВС изгибающие моменты, действующие в различных сечениях, будут численно равны одному и тому же значению (Р • а). Нагружение балки двумя равными моментами, действующими в одной центральной плоскости и приложенными по концам его, называется чистым изгибом.

Поперечная сила. Иное положение будет на участках балки АВ и CD. Проведем сечение п—п на участке АВ. На часть балки, лежащую слева от этого сечения, со стороны правой части действуют внутренние силы, которые, как известно, сводятся к главному моменту М₂ и главному вектору Q_y (рис. 9.14, в). Условия равновесия для этого случая принимают вид.

Таким образом, для сечения п—п, произвольно взятого на участке АВ, внутренние силы сводятся к изгибающему моменту M_z = Р • х и равнодействующей внутренних сил Q_y = Р.

Равнодействующая внутренних сил, действующих по данному сечению, численно равная сумме проекций на вертикальную ось всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, называется поперечной (перерезывающей) силой. В дальнейшем поперечную силу и изгибающий момент будем обозначать Q_y и M_z.

Рис. 9.14. Изгибающий момент и поперечная сила при изгибе.

Если в произвольном поперечном сечении балки совместно действуют изгибающий момент и поперечная сила, то вид нагружения в этом случае называется поперечным изгибом.

Изгибающие моменты будем считать отрицательными, если они изгибают балку выпуклостью вверх (рис. 9.15, а), положительными — если выпуклостью вниз (рис. 9.15, б). Поперечную силу Q_y будем считать положительной, если равнодействующая внешних сил, действующих слева от сечения, направлена вверх, а справа — вниз (рис. 9.15, б).

Построение эпюр. Графики изменения поперечных сил и изгибающих моментов вдоль центральной оси балки называются эпюрами. При построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в большинстве случаев следует начинать с определения реакций опор.

Определив реакции, балку следует разбить на участки, на протяжении которых нагрузка однородна. Для каждого участка составляют общие выражения для поперечной силы и изгибающего момента, для чего рассматривают произвольное сечение в пределах данного участка, и строят эпюры, давая аргументу х произвольные значения в пределах того же участка.

Порядок построения эпюр рассмотрим на нескольких примерах.

Пример 1. Консольная балка длиной I нагружена моментом М, приложенном в точке В (рис. 9.16).

Определяем опорные реакции (хотя для балки с жесткой заделкой это делать не обязательно).

Из уравнения равновесия балки:

тогда

Момент в опоре условно показан на основном чертеже (правильно было бы изобразить его на отдельной схеме).

Вертикальная и горизонтальная реакции равны нулю. Поэтому поперечные силы Q = 0.

Эпюра изгибающего момента имеет вид прямой линии, расположенной ниже оси балки, так как сжимаются волокна снизу.

Пример 2. Консольная балка длиной I нагружена поперечной сосредоточенной силой, приложенной в точке В (рис. 9.17).

Определяем опорные реакции. Из условия равновесия балки составляем следующую систему уравнений:

Рис. 9.15. Правило знаков для изгибающего момента (а) и поперечной силы (б).

Рис. 9.16. Схема нагружения (а), эпюра поперечных сил (б) и эпюра изгибающих моментов (в) Выражения для поперечной силы и изгибающего момента в произвольном сечении будут следующие:

Из полученных выражений следует, что поперечная сила линейна. Она располагается выше оси балки.

Изгибающий момент изменяется по линейному закону от значения М (0) = М_{А тах} в опорном сечении до М (Ь) = 0 в конце участка.