Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

При рассмотрении вынужденных колебаний с одной степенью свободы с целью упрощения задачи примем, что внешнее усилие, вызывающее колебания, изменяется гармонически по синусоидальному закону. Кроме внешней возмущающей силы в системе действует восстанавливающая сила, стремящаяся вернуть систему в положение равновесия. Первые силы будем считать не зависящими от положения системы, а вторые — зависящими. Выразим возмущающую силу через P-sin cot, а восстанавливающую силу через -КХ (знак «минус» указывает на то, что эта сила всегда противодействует возмущающей). Тогда уравнение движения подвижной системы, пренебрегая трением,.

Это уравнение движения является неоднородным дифференциальным уравнением и его решение, как известно, имеет вид.

где со₀, со — соответственно частота свободных колебаний системы и частота возмущающей силы, не зависящая от масс и упругости системы; С_ь С₂ — постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям.

Из анализа этого уравнения следует, что система находится в сложном колебательном движении, так как в правой части уравнения первые два члена выражают свободные колебания системы с частотой о)₀, а третий — вынужденные с частотой со.

Амплитуда колебаний. При наличии трения в системе свободные колебания будут быстро затухать, однако колебание системы будет продолжаться за счет оставшихся вынужденных колебаний:

Максимальная амплитуда этих колебаний.

В полученном выражении отношение P/К представляет собой максимальное перемещение Х_ст, вызванное статическим действием силы Р, а из формулы (8.8) отношение

После подстановки в уравнение (8.18) этих параметров получим.

Из выражения (8.19) видно, что при вынужденных колебаниях максимальная амплитуда зависит от отношения частот вынужденных и свободных колебаний. График изменения модуля максимальной амплитуды Х_тах от отношения to/w₀, построенный по формуле (8.19), показан на рис. 8.5. Анализируя его, видим, что амплитуда вынужденных колебаний равна или меньше перемещения под действием статических сил в случае, если ю/со₀ >1,41.

Рис. 8.5. Графики изменения модуля максимальной амплитуды.

При w/co₀ <1,41 амплитуда вынужденных колебаний может значительно превышать перемещение под действием статических сил, а при равенстве частот амплитуда становится бесконечно большой. Такое явление называют резонансом.

Резонансные колебания в механических системах обычно приводят к разрушению деталей и механизмов, поэтому их стремятся избегать, кроме тех случаев, где они используются как полезные колебания (резонансные машины, частотомеры и др.). Для борьбы с этими колебаниями необходимо знать в первую очередь частоты свободных колебаний системы и возбуждающих сил. При увеличении трения в системе резонансная амплитуда в большинстве случаев не достигает бесконечно больших значений. Однако для гашения колебания целесообразно иметь силы трения, пропорциональные скорости, в этом случае достигается наибольший эффект гашения без увеличения потерь на трение в механизмах при их нормальной работе.

В быстроходных машинах вращающиеся звенья устанавливают таким образом, чтобы центр масс звена находился на оси его вращения. Однако точно выполнить это условие не всегда удается из-за сложности геометрической формы звеньев и неоднородности материала, и при вращении их возникает неуравновешенная центробежная сила, вызывающая колебания. Движение при наличии поперечных колебаний становится неустойчивым, что меняет условия взаимодействия звеньев механизма.

При определении закона движения поступательно движущегося звена необходимо обращать внимание на соотношение частот собственных и вынужденных колебаний. При определенном их сочетании возможны, существенные погрешности в законах движения звеньев. Учет упругости звеньев позволяет подобрать массы и размеры их такими, чтобы удовлетворить частотным характеристикам.