Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Линейные векторные пространства

РефератПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Приведенные утверждения относительно выпуклых множеств и функций, условий существования экстремума позволяют делать выводы о свойствах тех или иных задач оптимального программирования, что является основой разработки и применения математических методов их решения. Например, симплекс-метод решения задачи линейного программирования использует, в частности, «свойство выпуклости» этой задачи… Читать ещё >

Линейные векторные пространства (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Определение 2.1. Упорядоченная система из n действительных чисел Линейные векторные пространства. называется n-мерным вектором и обозначается Линейные векторные пространства.. Числа Линейные векторные пространства. называются компонентами вектора Линейные векторные пространства.

Определение 2.2. Совокупность всевозможных n-мерных векторов с введенными на ней операциями сложения и умножения на число называется n-мерным векторным пространством.

В матрице из т строк и п столбцов строки являются n-мерными векторами, столбцы — m-мерным и векторами.

Вектор Линейные векторные пространства. и вектор Линейные векторные пространства. равны, если совпадают их компоненты, стоящие на одинаковых местах, т. е. если Линейные векторные пространства. при Линейные векторные пространства.

Суммой векторов Линейные векторные пространства. и Линейные векторные пространства. называется вектор Линейные векторные пространства.. Роль нуля играет нулевой вектор 0 = (0, 0, …, 0).

Противоположным вектору Линейные векторные пространства. называется вектор Линейные векторные пространства.; очевидно, что Линейные векторные пространства.. Разность векторов Линейные векторные пространства.

Произведением вектора Линейные векторные пространства. на число? называется вектор Линейные векторные пространства.. Из этого определения вытекают следующие важные свойства:

Линейные векторные пространства.

Следствиями этих свойств являются следующие: Линейные векторные пространства., Линейные векторные пространства.. Скалярным произведением двух векторов Линейные векторные пространства. и Линейные векторные пространства. (A и В) называется действительное число, равное сумме произведений соответствующих компонент этих векторов:

Линейные векторные пространства.

Например, левая часть линейного уравнения Линейные векторные пространства. может быть представлена в виде скалярного произведения векторов A· Х, где Линейные векторные пространства. ,.

Линейные векторные пространства.

Вектор В называется линейной комбинацией векторов , если существуют такие числа Линейные векторные пространства., при которых выполняется соотношение Линейные векторные пространства.

Система векторов Линейные векторные пространства. называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных, и линейно независимой — в противном случае. Можно сформулировать следующие равносильные сказанному определения.

Система векторов Линейные векторные пространства. - линейно зависимая, если существуют числа Линейные векторные пространства., не все равные нулю, при которых имеет место равенство Линейные векторные пространства.

Если последнее соотношение возможно лишь в случае, когда все Линейные векторные пространства., то система векторов называется линейно независимой.

Например, система векторов Линейные векторные пространства., Линейные векторные пространства., линейно зависима: Линейные векторные пространства. .

Рангом системы векторов

Линейные векторные пространства.

называется максимальное число линейно независимых векторов этой системы. Ранг системы векторов равен рангу матрицы А, составленной из компонент векторов этой системы, т. е. наивысшему порядку минора матрицы А, отличного от нуля.

Пример 2.4. Определить, является ли система векторов , Линейные векторные пространства., Линейные векторные пространства. линейно зависимой; если она линейно-зависима, то найти ее максимальную линейно независимую подсистему.

Решение. Составим матрицу из компонент векторов и найдем ее ранг.

Имеем Линейные векторные пространства.

Минор второго порядка Линейные векторные пространства.

Рассмотрим два минора третьего порядка, которые его окаймляют:

Линейные векторные пространства.

Ранг матрицы А равен 2, поэтому система векторов является зависимой. В матрицах, составленных из компонент любых двух векторов данной системы, содержатся миноры второго порядка, отличные от нуля, например,.

Линейные векторные пространства.

Поэтому максимальная линейно независимая подсистема состоит из двух любых векторов, а третий вектор является их линейной комбинацией.

Базисом n-мерного векторного пространства называется любая совокупность п линейно независимых векторов этого же пространства.

Теорема 2.2. Любой вектор n-мерного векторного пространства можно представить как линейную комбинацию векторов базиса, притом единственным образом.

Один из базисов n-мерного векторного пространства образует система единичных векторов.

Линейные векторные пространства.

Компоненты любого n-мерного вектора можно считать координатами этого вектора в единичном базисе.

Пусть задано n-мерное линейное пространство Линейные векторные пространства.

Определение 2.3. Множество X называется выпуклым, если вместе с любыми точками х{ и х2 множеству принадлежат точки (отрезок) Линейные векторные пространства. при всех Линейные векторные пространства.

Множество на рис. 2.1, а — выпуклое, на рис. 2.1, б — невыпуклое.

Рис. 2.1.

Рис. 2.1

Определение 2.4. Функция Линейные векторные пространства., заданная на выпуклом множестве Линейные векторные пространства., называется выпуклой, если для любых двух точек x1 и х2 из X и любого числа Линейные векторные пространства. выполняется соотношение.

Определение 2.5. Функция , заданная на выпуклом множестве , называется вогнутой, если для любых двух точек х1 и х2 из X и любого числа выполняется соотношение.

Определение 2.5. Функция Линейные векторные пространства., заданная на выпуклом множестве Линейные векторные пространства., называется вогнутой, если для любых двух точек х1 и х2 из X и любого числа Линейные векторные пространства. выполняется соотношение.

Линейные векторные пространства.

Если приведенные неравенства считать строгими и они выполняются при Линейные векторные пространства., то функция Линейные векторные пространства. - строго выпуклая (вогнутая).

Можно показать, что если Линейные векторные пространства. - выпуклая функция, то функция Линейные векторные пространства. - вогнутая, и наоборот.

На рис. 2.2, а функция Линейные векторные пространства. - выпуклая, на рис. 2.2, б - вогнутая.

Рис. 2.2.

Рис. 2.2

Справедливы следующие утверждения относительно выпуклых множеств и функций.

  • 1. Пересечение выпуклых множеств есть выпуклое множество.
  • 2. Сумма вогнутых (выпуклых) функций есть вогнутая (выпуклая) функция.
  • 3. Если Линейные векторные пространства. - выпуклая функция при Линейные векторные пространства., то множество всех точек, удовлетворяющих условиям Линейные векторные пространства., Линейные векторные пространства., выпукло (если оно не пустое; b — это постоянная).
  • 4. Пусть Линейные векторные пространства. - выпуклая (вогнутая) функция, заданная на замкнутом выпуклом множестве Линейные векторные пространства., тогда любой локальный минимум (максимум) Линейные векторные пространства. на X является и глобальным.

Приведем необходимое и достаточное условие выпуклости функции многих переменных. Пусть функция имеет все частные производные второго порядка, образующие матрицу.

Линейные векторные пространства.

Эта функция является выпуклой в области X тогда и только тогда, когда матрица Q для любой точки из этой области является неотрицательно (положительно) определенной. Напомним, что квадратная матрица Линейные векторные пространства. называется неотрицательно (положительно) определенной, если все определители.

Линейные векторные пространства.

т.е. все главные миноры матрицы, неотрицательны (положительны).

Пример 2.5. Показать, что функция Линейные векторные пространства. является выпуклой при Линейные векторные пространства.

Составим матрицу из частных производных второго порядка для Линейные векторные пространства.

Найдем главные миноры Линейные векторные пространства.. Так как Линейные векторные пространства. при Линейные векторные пространства., то функция является выпуклой.

Дадим определение глобального и локального максимумов. Функция Линейные векторные пространства. достигает на замкнутом (т.е. включающем свою границу) множестве X глобальный максимум в точке Линейные векторные пространства., если для любой точки, принадлежащей , выполняется условие Линейные векторные пространства.

Функция Линейные векторные пространства. достигает на замкнутом множестве X локального максимума в точке Линейные векторные пространства., если существует некоторой окрестность этой точки, для каждой точки которой выполняется условие Линейные векторные пространства.

Определения локального и глобального минимума формулируются аналогично.

На рис. 2.3 Линейные векторные пространства. - точка локального минимума; Линейные векторные пространства. - глобального минимума; ?, Линейные векторные пространства. — точки локального максимума;? — точка глобального максимума.

Рис. 2.3.

Рис. 2.3

Необходимые условия экстремума (максимума, минимума). Если в точке Линейные векторные пространства. функция Линейные векторные пространства. имеет экстремум, то частные производные первого порядка равны нулю в этой точке:

Линейные векторные пространства.

Достаточные условия существования экстремума здесь не формулируются. О самом существовании точек глобального минимума и максимума говорит следующая теорема.

Теорема Вейерштрасса

Если функция Линейные векторные пространства. определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области X, то она достигает в ней своих точных верхней и нижней границ (глобальный максимум и глобальный минимум).

Приведенные утверждения относительно выпуклых множеств и функций, условий существования экстремума позволяют делать выводы о свойствах тех или иных задач оптимального программирования, что является основой разработки и применения математических методов их решения. Например, симплекс-метод решения задачи линейного программирования использует, в частности, «свойство выпуклости» этой задачи: не существует локального экстремума, отличного от глобального.

Показать весь текст
Заполнить форму текущей работой