Особенности описания системы случайных величин
В частности, в его левой (а) части показан фрагмент функции F (x, у) распределения применительно к вероятности Р (х, у) попадания случайной точки в пределы заданной там области R ее значений; тогда как в правой (б) — то же самое, но уже с помощью плотности f (x, у) вероятности, где такая же (одинаковая) вероятность представлена в виде соответствующей объемной фигуры под фрагментом трехмерной… Читать ещё >
Особенности описания системы случайных величин (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
В практических применениях теории вероятностей к исследованию и обеспечению безопасности сложных технических систем приходиться сталкиваться с задачами, в которых искомый результат описывается не одной случайной величиной, а их большим числом, образующим единую систему. Например, неконтролируемое распространение аварийно высвободившегося вредного вещества может характеризоваться определенным уровнем концентрации в различных зонах заполненного им воздушного пространства или зараженной земной поверхности. Поэтому при рассмотрении подобных явлений удобно пользоваться их геометрической интерпретацией в виде системы учитываемых случайных величин, представляя комплекс из двух таких величин случайной точкой на плоскости, а трех — случайным вектором в трехмерном пространстве.
Как и для описания одной случайной величины, их система также может характеризоваться соответствующей функцией или плотностью распределения. Так, для задания функции F (x, у) распределения системы двух случайных величин X, Y применяется вероятность совместного выполнения двух неравенств:
(2.10).
Рис. 2.5. Графическая интерпретация функции F (x, у).
Руководствуясь геометрическим представлением, нетрудно показать, что приведенная функция есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки (х, у) в бесконечный квадрат, имеющий координаты вершины (х, у) и располагающийся левее и ниже этой точки, что и показано на рис. 2.5, а.
В аналогичной интерпретации функцию F1 (х) распределения одной случайной величины X можно уподобить вероятности попадания в полуплоскость, расположенную левее абсциссы х (рис. 2.5, б), а функцию F2(y) — такой же вероятности, но уже применительно к попаданию в полуплоскость, ограниченную сверху ординатой у (рис. 2.5, в).
Подобно приведенным выше сведениям о функции распределения одной случайной величины рассматриваемая здесь F (x, y) также обладает рядом специфических свойств:
- а) данная функция является неубывающей по отношению к своим аргументам:
- • при ,
- • при ;
- б) при принятии аргументами значения -? она становится равной нулю:
в) при принятии одним из аргументов значения +? функция распределения двух аргументов вырождается уже в функцию одного (другого) аргумента:
г) когда оба аргумента этой функции принимают предельное значение, равное +?, то ее величина становится равной единице:
Аналогичным способом можно задавать и интерпретировать плотность f (х, у) распределения системы непрерывных случайных величин, равную вероятности попадания некоторой точки в прямоугольник R? со сторонами? х и? у. По определению, такая функция является дифференциальным законом распределения, и ее значение может быть выражено через малые приращения аргументов в виде следующего соотношения:
деление правой части которого на площадь прямоугольника R? а затем переход полученного при этом частного к пределу при? х>0 и? у > 0 позволяет представить рассматриваемую плотность в виде смешанной частной производной второго порядка от функции F (x, y), если она дифференцируема:
(2.11).
Что касается графической интерпретации законов распределения системы двух случайных величин, то ее примеры продемонстрированы на рис. 2.6.
В частности, в его левой (а) части показан фрагмент функции F (x, у) распределения применительно к вероятности Р (х, у) попадания случайной точки в пределы заданной там области R ее значений; тогда как в правой (б) — то же самое, но уже с помощью плотности f (x, у) вероятности, где такая же (одинаковая) вероятность представлена в виде соответствующей объемной фигуры под фрагментом трехмерной палатки.
Рис. 2.6. Вероятности попадания в область R как площадь (а) и объем (б).