Среднее линейное отклонение

Показатель размаха вариации дает обобщающую характеристику только размаху (амплитуде) значений признака, но не вариации отклонений. Распределение отклонений можно уловить, исчислив отклонения всех вариантов от средней. Для того чтобы дать им обобщающую характеристику, необходимо вычислить среднюю из этих отклонений, т. е. разностей между значениями признака и средней арифметической в данной совокупности единиц.

Из свойства средней арифметической (см. выражение (5.2)) известно, что сумма отклонений значений признака от нес всегда равна нулю, так как сумма положительных отклонений всегда равна сумме отрицательных отклонений. Следовательно, чтобы вычислить среднюю арифметическую из отклонений, нужно условно допустить, что все отклонения, положительные и отрицательные, имеют одинаковый знак. Тогда, если взять сумму всех отклонений, условно принятых с одинаковым знаком, и разделить на их число, то полученный показатель вариации будет называться средним линейным отклонением (с!), т. е. это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической.

Если каждый вариант в ряду распределения повторяется один раз, то среднее линейное отклонение определяется по формуле.

где | х. -х | — абсолютные значения отклонений отдельных вариантов от их средней величины, т. е. в виде абсолютных значений по модулю; п — число членов ряда.

Для вариационного ряда с неравными частотами формула имеет следующий вид:

где — сумма частот вариационного ряда.

На основе данных дискретного ряда распределения (табл. 6.1) рассчитаем размах вариации и среднее линейное отклонение.

Таблица 6.1. Распределение сотрудников фирм по стажу работы

Вычислим размах вариации стажа работы, лет: Д=12−8 = 4.

Определим среднее линейное отклонение по формуле (6.1). Результаты вспомогательных расчетов даны в графах 3, 4 табл. 6.1.

Средний стаж работы сотрудников, лет, вычислим по формуле средней арифметической взвешенной (графа 2).

Отклонения индивидуальных значений стажа от средней с учетом и без учета знака содержатся в графах 3 и 4, а произведения отклонений по модулю на соответствующие частоты даны в графе 5.

Среднее линейное отклонение стажа работы сотрудников коммерческого банка составит, лет:

т.е. конкретные значения стажа работы одного сотрудника в среднем отклоняются от среднего значения признака на 0,96 года.

Среднее линейное отклонение обладает большим преимуществом перед размахом вариации в отношении полноты характеристики колеблемости признака. Однако при этом нарушается элементарное правило математики, так как отклонение от среднего значения признака складывается без учета знаков. Это обстоятельство вынуждает искать такой показатель вариации, который был бы лишен и этого недостатка. Хотя в некоторых случаях, суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл. Например, в практической статистике оборот внешней торговли страны определяется как сумма экспорта и импорта, общий оборот рабочей силы — как сумма принятых и уволенных.

Отмеченный выше недостаток среднего линейного отклонения может быть устранен путем возведения в квадрат отклонений вариантов от средней величины.

Дисперсия

Таким путем приходим к новому показателю вариации — дисперсии — это средний квадрат отклонения значений признака от их средней величины. Порядок вычисления дисперсии можно выразить следующими формулами.

Если каждый вариант повторяется один раз, то дисперсию определяют по формуле.

Для вариационного ряда с неравными частотами формула примет следующий вид: