Правила построения и проверки корректности математических моделей

Разработка математических моделей обычно преследует цель установить точную зависимость оцениваемых параметров исследуемого объекта от величин, рассматриваемых в качестве исходных данных. Сам же процесс выявления искомых зависимостей связан с использованием различных аналогий и гипотез, достоверность которых должна подтверждаться применением не только перечисленных выше (см. параграф 1.4) причинно-следственных правил, но и таких методов обобщенного анализа, как анализ размерностей и теория подобия. Учитывая сравнительно малую известность последних, кратко охарактеризуем их сущность.

Объектом анализа размерностей служат определительные уравнения (формулы размерности), а теории подобия — уравнения процессов в аналогичных системах. При этом в соответствии с принципами теории обобщенного анализа подобными считаются явления, для которых соблюдаются следующие условия: а) одинаковость безразмерных комплексных параметров, входящих в определительные уравнения в качестве множителей при операторах; б) тождественность краевых распределений и определяющих уравнений при переходе к безразмерным величинам. При удовлетворении этих требований различные явления одной и той же группы можно рассматривать как одно явление, но уже данное в разных масштабах.

Кроме того, исходя из предположения о физической однородности сопоставляемых явлений, принято различать подобие в узком смысле и подобие в широком смысле. Реализация первого условия разными объектами на самом деле означает их фактическую однородность, т. е. сходство отношений (функциональную аналогию), тогда как при соблюдении второго условия речь идет уже только о сходстве свойств, т. е. лишь о физической аналогии. Однако для практики математического моделирования достаточна констатация любой из этих двух ситуаций. Отличие — лишь в его результатах: если в первом случае их можно считать практически точными, то во втором — приближенными.

Еще одно важное правило касается исходных данных, которые по своей природе обычно являются как константами, так и независимыми переменными. Оно заключается в том, что в качестве таких данных должны применяться лишь те, которые могут быть найдены каким-либо объективным способом. Необходимо также стремиться к тому, чтобы число оцениваемых по ним параметров не превышало количества содержащих их математических соотношений, а сами они удовлетворяли требованиям, предъявляемым к системам уравнений, параметрическим формулам и другим аналитическим моделям.

Что касается правильности уже полученных подобным образом математических соотношений, то она должна подтверждаться следующими обязательными проверками:

• а) контроль размерностей, включающий правило, согласно которому приравниваться, складываться, перемножаться и делиться могут только величины одинаковой размерности. При переходе же к вычислениям это правило дополняется требованием выражать значения всех параметров в одной и той же системе физических единиц;
• б) проверка порядков, состоящая в сравнении арифметических порядков складываемых и вычитаемых величин с последующим исключением из модели малозначимых параметров;
• в) контроль характера зависимостей, предполагающий, что направление и скорость изменения выходных параметров модели должны быть такими, как это следует из физического смысла изучаемых процессов;
• г) проверка экстремальных ситуаций, которая осуществляется наблюдением за выходными результатами модели после приближения ее параметров к предельно допустимым для них значениям, делающим математические соотношения более простыми и наглядными;
• д) контроль физического смысла результата расчета модели и проверка неизменности этого смысла при варьировании ее параметров от наименьших до наибольших значений;
• е) проверка математической замкнутости, состоящая в выявлении принципиальной возможности решения системы математических

соотношений (равенство их числа количеству искомых переменных) с получением однозначно интерпретируемого результата.

Поясним, что математически замкнутой, или «корректно поставленной», принято считать такую задачу, при решении которой малым изменениям непрерывно меняющихся исходных данных соответствуют такие же незначительные изменения выходного результата. При неудовлетворении этого условия применение математической модели недопустимо из-за низкой устойчивости полученных по ней результатов.

Кроме того, рекомендуется также проверка адекватности математической модели, которая преследует цель убедиться в справедливости гипотез, сформулированных на этапе концептуальной постановки (семантического моделирования) задачи, и в том, что точность полученных результатов соответствует той, которая ранее была оговорена в техническом задании на моделирование. В качестве привлекаемых для этого методов обычно рекомендуется сравнение с имеющимися экспериментальными данными или с результатами других моделей, созданных ранее и хорошо зарекомендовавших себя. В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом, во втором — с тестовой задачей.

Решение о точности моделирования принимается с учетом его цели и предъявленных требований. При этом учитываются особенности постановок тестовых задач и достоверность имеющихся экспериментальных данных. Обычно считается удовлетворительной следующая погрешность (разность между истинным и оцененным результатом): а) 10−15% - для моделей, используемых при выполнении приближенных или прикидочных расчетов; б) 1−2% - в случае их применения для нужд контроля и управления.

Как правило, различают качественное и количественное совпадение результатов сравнения. В первом случае требуется лишь согласие относительно некоторых характерных особенностей исследуемых параметров: например, их возрастание либо убывание, положительное или отрицательное значение, наличие экстремальных точек и т. д. Фактически при качественном сравнении оценивается совпадение лишь вида функции распределения параметров (убывающая или возрастающая, с одним экстремумом или с несколькими).

А вот вопрос о количественном сравнении можно ставить только после получения удовлетворительного вывода о качественном соответствии результатов моделирования. Кроме того, при количественном сравнении более важное значение следует придавать реальной точности исходных данных для моделирования, а также их соответствию величине оцениваемых параметров или показателей. При этом может оказаться, что их значения не соответствуют допустимой области, так как константы и параметры из состава определяющих соотношений установлены неточно.

Наиболее типичными причинами неадекватности результатов математического моделирования обычно являются следующие:

• а) значения параметров модели не соответствуют области, определяемой принятой системой гипотез;
• б) выбранная совокупность гипотез верна, но константы и параметры в определяющих соотношениях модели установлены неточно;
• в) вся исходная совокупность принятых гипотез неприменима для изучаемого объекта или условий его функционирования.

Для устранения этих и иных подобных им причин требуются дополнительные исследования как объекта-оригинала, так и самой дефектной модели.

При возникновении проблем, связанных с неадекватностью математической модели достоверному эксперименту, ее корректировку следует начинать с последовательного анализа всех возможных причин, приведших к расхождению между соответствующими результатами. В первую очередь нужно исследовать параметрические формулы, с тем чтобы оценить их правильность при различных (начальных и граничных) величинах варьируемых переменных. Если модель неадекватна в интересующей области значений параметров, то следует попытаться уточнить константы и используемые исходные данные, а когда и это не помогает, необходимо пересмотреть принятую систему гипотез.

Последнее фактически означает возвращение ко второму этапу разработки модели (см. рис. 5.2), что может повлечь серьезное изменение как математической постановки самой задачи, так и методов ее решения (например, переход от аналитических к численным), а также переработку программного обеспечения и нового цикла проверки модели на адекватность. Поэтому необходимость изменения принятой системы гипотез должна быть всесторонне взвешена и может осуществляться лишь в том случае, когда исчерпаны все прочие возможности по достижению требуемой адекватности используемой математической модели.