Формирование оптимального портфеля с помощью ведущего фактора финансового рынка

Практика показывает, что на фондовом рынке одновременно объектом купли-продажи служат акции большого числа эмитентов, имеющие разную степень доходности.

Во всех странах с развитым рынком ценных бумаг для определения общей тенденции в изменении курсов акций применяются специальные индикаторы — фондовые индексы1 (индекс Доу-Джонса, 5&Р).

Рыночная модель

Предположим, что доходности всех ценных бумаг за определенный период времени (например, месяц) связаны с доходностью рынка за данный период, т. е. с доходностью акции па рыночный индекс, такой, например, как индекс РТС. В этом случае с ростом рыночного индекса, вероятно, будет расти и цена акции, а с падением рыночного индекса, вероятно, будет падать и цена акции. Один из путей отражения данной взаимосвязи носит название рыночная модель (market model):

где /и, — - доходность ценной бумаги i за определенный период (зависимая переменная); тг — доходность на рыночный индекс за этот же период (независимая, объясняющая переменная); а, — постоянная составляющая модели линейной регрессии, показывающая какая часть доходности / ценной бумаги не связана с изменением доходности на рыночный индекс, коэффициент смещения ;р, — - параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности г ценной бумаги к изменениям рыночной доходности, коэффициент наклона; г, — - случайная погрешность.

Оценку параметров регрессионной модели (30.12) можно получить с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Бета-коэффициент

Отмстим, что наклон в рыночной модели ценной бумаги измеряет чувствительность ее доходности к доходности на рыночный индекс. Коэффициент наклона рыночной модели часто называют бета-коэффициентом (beta) и вычисляют как.

где а,> - ковариация между доходностью акции г-и ценной бумаги и доходностью на рыночный индекс; а" г — дисперсия доходности на индекс.

Бета-коэффициент оценивает изменения в доходности отдельных акций в сопоставлении с динамикой рыночного дохода. Ценные бумаги, имеющие коэффициент выше единицы, характеризуются как агрессивные и признаются более рискованными, чем рынок в целом. Бета-коэффициент может быть положительным или отрицательным. Если он положителен, то доходность соответствующих ценных бумаг будет аналогична динамике рыночной доходности. При отрицательном р — коэффициенте эффективность данной ценной бумаги будет снижаться при возрастании эффективности рынка.

Исходя из рыночной модели (30.12) общий риск ценной бумаги г, измеряемый ее дисперсией of = Уаг (ти;), состоит из двух частей1:

• 1) рыночный (или систематический) риск (market risk);
• 2) собственный (или несистематический) риск unique risk).

Таким образом, Var (m,) = о;- соответствует следующему выражению:

Здесь р, ст, — обозначает рыночный риск ценной бумаги /, измеренный ее дисперсией (или СКО), а ос — собственный риск ценной бумаги /, мерой которого служит СКО случайной погрешности 8/ из уравнения (30.12).

Как отмечено выше, вариация доходности каждой ценной бумаги состоит из двух слагаемых: «собственной» вариации, не зависящей от рынка, и «рыночной» части вариации, определяемой случайным поведением рынка в целом. Отношение р/о^,/а^ обозначается Щ и называется К-$циагей

(в регрессионном анализе называют коэффициентом детерминации). Это отношение характеризует долю риска данных ценных бумаг, вносимую рынком. Те бумаги, для которых К-щиагей велико, в каком-то смысле предпочтите, п.псе. таккак' их поведение более предсказуемо.

Таким образом, коэффициент регрессии Р служит количественным измерителем систематического риска, не поддающегося диверсификации. Ценная бумага, имеющая р — коэффициент, равный единице, копирует поведение рынка в целом. Если значение р — коэффициента выше единицы, реакция ценной бумаги опережает изменение рынка как в одну, так и в другую сторону. Систематический риск такого финансового актива выше среднего. Менее рисковыми являются активы, р — коэффициенты которых ниже единицы (но выше нуля).

Рассмотрим в этой ситуации портфель ценных бумаг. Оказывается, доходность (рисковой части) портфеля с зафиксированными долями бумаг также линейно зависит от доходности рынка. В самом деле, пусть доля 1-й ценной бумаги есть X/, тогда доходность портфеля.

Г. М. Марковиц разработал важное положение, которое гласит: совокупный риск портфеля можно разложить на две составные части. С одной стороны, это так называемый систематический риск, который нельзя исключить, и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени. С другой — специфический риск для каждой конкретной ценной бумаги, который можно избежать при помощи управления портфелем ценных бумаг. При этом сумма сложенных средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений (например, часть средств на банковском счете вводится в модель как инвестиция с нулевым риском).

Из уравнения (30.14) можно показать, что общий риск портфеля состоит из двух компонент (рис. ЗОЛ 1): рыночного и собственного рисков:

Увеличение диверсификации (увеличение количества цепных бумаг в портфеле) приводит к снижению общего риска портфеля. Это происходит вследствие сокращения.

Рис. 30.11. Риск портфеля ор как функция объема объектов инвестирования N.

собственного риска портфеля, в то время как рыночный риск портфеля остается приблизительно таким же.

Задача Марковица о формировании портфеля заданной эффективности с учетом ведущего фактора и минимального риска может быть сформулирована следующим образом.

Необходимо найти вектор X = (Хи Х2, Х"), минимизирующий риск портфеля о" :

Отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения оптимального портфеля этой задаче:

• 1) выбрать п ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в ЛГ шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности каждой ценной бумаги;
• 2) по рыночному индексу (например, АК&М) вычислить рыночные доходности /'," для того же промежутка времени;
• 3) найти ожидаемые доходности каждой цепной бумаги от рыночной доходности (от индекса рынка);
• 4) определить величину дисперсии рыночного показателя о^л, а также и найти величины р" , — = а,-,/а" р
• 5) вычислить дисперсии ошибок регрессионной модели;
• 6) подставить эти значения в соответствующие уравнения. После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса X, ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля ТПр, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.

Концепция р-коэффициентов составляют основу модели опенки финансовых активов (Capital Assets Pricing Model. САРМ). При помощи этого показателя может быть рассчитана величина премии за риск, требуемой инвесторами по вложениям, имеющим систематический риск выше среднего.

Модель доходности финансовых активов (САРМ)

Модель САРМ описывает зависимость между рыночным риском и требуемой доходностью. Модель САРМ основывается на системе строгих предпосылок. Согласно логике этой модели, инвестиционное решение принимается под воздействием двух факторов — ожидаемой доходности т, и риска, мерой которого служит дисперсия или стандартное отклонение доходности. Приняв ряд допущений (инвесторы ведут себя рационально, измеряют время в одних единицах, мыслят сходным образом, заимствуют и предоставляют средства в долг под безрисковую ставку и др.), авторы модели показали, что при соблюдении указанных допущений инвестиционный портфель, повторяющий пропорции рынка, должен быть оптимальным инвестиционным решением для всех инвесторов.

Формальная запись итогового уравнения данной модели выглядит следующим образом:

где щ — ожидаемый доход на конкретную ценную бумагу при условии равновесия рынка; тп/ — ставка дохода на безрисковую ценную бумагу, которые являются важнейшим элементом фондового рынка. Примером гарантированных ценных бумаг с фиксированным доходом являются, например, государственные облигации; р; - коэффициент акции і (р,) — это мера рыночного риска акции. Он измеряет изменчивость доходности акции по отношению к доходности среднерыночного портфеля, р-коэффициент связан с наклоном характеристической линии акции, представляющей собой графическое изображение уравнения регрессии, построенного по статистическим данным о доходности i-й акции и среднерыночной доходности; (mr — mj) — рыночная премия за риск.

Связь между доходом ценной бумаги и ее р-коэффициентом линейная и называется линией рынка ценных бумаг (Security Market Line, SML). Уравнение SML может быть записано в форме.

На графике SML по горизонтальной оси отложены р-коэффициснты, по вертикальной — эффективности бумаг или портфелей. Но эта прямая 5 М? отражает идеальную зависимость между р и эффективностью бумаг и портфелей. Все точки, лежащие на прямой &Ш., соответствуют «справедливо» оцененным бумагам (портфелям), а те, которые лежат выше (ниже) этой линии, — недооцененным (переоцененным).

Линия рынка ценных бумаг (5М?) отражает зависимость риск — доходность для отдельных акций. Требуемая доходность любой акции равна безрисковой норме, сложенной с произведением премии за рыночный риск и р-коэффициента акции.

Отсутствие риска по безрисковым ценным бумагам влечет за собой и минимальный уровень прибыли. В силу этого безрисковые бумаги являются главным регулятором прибылей и рисков.

Предположим, что значение доходности по гарантированным бумагам составляет величину т*. В этом случае любой инвестиционный портфель, имеющий бумаги с той или иной степенью риска, дает более высокую прибыль, чем аналогичные по объему инвестиции в гарантированные бумаги. Следовательно, можно заключить, что замена любых ценных бумаг на более прибыльные повышает риск портфеля.

Эффективность ценных бумаг удобно отсчитывать от эффективности безрискового вклада Ш[.

Тогда.

гдеа, = <�з, + (р, — 1)ш/.

Превышение эффективности ценной бумаги над безрисковой эффективностью Ш ( называется премией за риск. Таким образом, эта премия за риск в основном линейно зависит от премии за риск, складывающейся для рынка в целом, и коэффициентом является «бета» данной бумаги. Это, однако, верно, если, а = 0. Такие ценные бумаги называются «справедливо» оцененными. Те же бумаги, у которых, а > 0, рынком недооценены, а если, а < 0, то рынком переоценены.

В ведущих в экономическом отношении странах мира рыночная премия (тгт/) равна 8% годовых (данные получены путем ретроспективного анализа фондовых рынков за 50 лет). То есть, если, например, ставка безрискового вложения (в долларах) равна 5% годовых, а р-коэффициент для какой-то компании составляет 0,65, то долгосрочная доходность, которую должен потребовать от акций данной компании инвестор в условиях устойчивой экономики, составляет.

/й; = т/ + (тг — т/)& = 5% + 0,65 o 8% = 10,2% годовых, долл. США.

Однако на развивающихся рынках, к которым принадлежит и фондовый рынок России, подобное использование модели невозможно.

Неоднозначен вопрос: что такое безрисковая ставка в России?

В условиях устойчивой экономической системы, например в США или в Англии, ставка т0 принимается равной доходности государственных обязательств, чаще всего казначейских векселей (treasure bills), по условиям выпуска близких к российским ГКО.

Однако российские государственные обязательства вовсе не являются безрисковыми. Это было очевидно задолго до кризиса 1998 г.: доходность ГКО всегда была изменчивой и то поднималась (в период их обращения) до 200% годовых и выше, то опускалась (во время относительной стабилизации экономической ситуации) до 15%. Если мерой риска служит дисперсия, то можно сказать однозначно, что ГКО были не просто рисковыми, а чисто спекулятивными бумагами.

Неочевидным для развивающихся рынков также является вопрос: какой должна быть рыночная премия к доходности, т. е. величина (mr — mj) в модели С АРАТ?

Здесь скрываются две проблемы. Во-первых, если эту премию определить на основе какого-либо существующего российского биржевого индекса, то мы рискуем опереться на недостоверные данные. На российском фондовом рынке преобладает внебиржевая активность, и, как показывают отдельные исследования, он обладает низкой степенью информационной эффективности. Это может привести к тому, что индекс, основанный на усредненных котировках спроса и предложениях внебиржевых трейдеров, исказит действительные тенденции, существующие на рынке.

Во-вторых, если даже принять за основу наиболее достойный доверия фондовый индекс и считать его достаточно надежным индикатором динамики рыночного портфеля, то остро ощущается недостаток информации.

Выводя свои среднерыночные премии, Э. Димсон основывался на анализе предыстории длиной .50 лет. Однако развивающийся рынок, как правило, молодой и нестабильный. Период нестабильности губителен для инвестиционной активности и не должен продолжаться долго. Поэтому тренд развивающегося рынка: неопределенный в связи с малой глубиной предыстории и общей волатильностью; неоднородный, поскольку правительство развивающейся страны будет стараться привлечь инвесторов, стабилизировать рынок и повысить его предсказуемость. На этом пути оно будет пробовать разные стратегии, что отразится на динамике фондового рынка.

Например, взяв за основу расчета интервал времени 1995;1997 гг. но рынку России, мы получим среднегодовой уровень доходности около 80% (долл. США). Совершенно понятно, что мы не можем требовать такой доходности от долгосрочных проектов промышленных корпораций, это сделало бы большинство хороших и реальных проектов в Российской Федерации нерентабельными, и поэтому расчет такого рода был бы некорректен.

Линия рынка капитала (СМ1) отражает зависимость риск — доходность для эффективных портфелей, т. е. для портфелей, сочетающих рисковые и безрисковые активы.

Заметим, что не только бумаги имеют «беты», но также и портфели, и «бета» портфеля равна взвешенной сумме «бета» бумаг, входящих в портфель. Как и для бумаг, портфель называется «справедливо» оцененным, недооцененным или переоцененным в зависимости от ар.

Из сказанного следует соотношение, известное под названием линии рынка капитала (СМ1), связывающее показатели эффективности и степень риска портфеля, т. е. т" и ор (тр < тпп ор < атг)

где тр — доходность (эффективность) портфеля акций; Су доходность безрисковых ценных бумаг; отг — СКО доходности рыночных ценных бумаг; ар — СКО доходности акций портфеля.

Рассмотрим два утверждения о риске ценной бумаги и портфельном риске:

• o рыночный риск принимает во внимание большую часть хорошо диверсифицированного портфеля;
• o р-коэффициент отдельной бумаги измеряет ее чувствительность к колебаниям рынка.

Попытаемся объяснить это. Предположим, что мы получили портфель, содержащий большое число ценных бумаг, скажем, 100, путем случайного выбора их на рынке. Что мы тогда будем иметь? Сам рынок, или портфель очень близкий к рынку, р-коэффициент портфеля будет равен единице, и корреляция с рынком будет равна единице. Если стандартное отклонение на рынке равно 20%, то и стандартное отклонение портфеля — 20%.

Предположим теперь, что получили портфель из большой группы бумаг со средним р-коэффициентом 1,5. И этот портфель будет жестко связан с рынком. Однако его стандартное отклонение будет 30%, в 1,5 раза больше, чем у рынка. Хороню диверсифицированный портфель с р-коэффициентом 1,5 будет усиливать каждое движение рынка на 50% и будет иметь 150% рыночного риска.

Конечно, то же самое можно повторить с ценными бумагами с р-коэффициентом 0,5 и получить хорошо диверсифицированный портфель, вдвое менее рисковый, чем рынок. Общее утверждение таково: риск хорошо диверсифицированного портфеля пропорционален р-коэффициенту ценных бумаг, включенных в этот портфель. Это показывает, как портфельный риск определяется р-коэффициентами отдельных бумаг.

Величины р-коэффициентов в модели САРМ и рыночной модели сходны по смыслу. Однако в отличие от САРМ рыночная модель не является моделью равновесия финансового рынка. Более того, рыночная модель использует рыночный индекс, который в общем случае не охватывает рыночный портфель, используемый в САРМ.

Существует ряд причин, по которым требуемая и ожидаемая доходности не совпадают. В их числе:

• 1) изменение безрисковой ставки ввиду пересмотра ожидаемого темпа инфляции;
• 2) изменение р;
• 3) переоценка отношения инвестора к риску.

САРМ хороню обоснована с позиции теории, однако она не может быть подтверждена эмпирически, ее параметры с трудом поддаются оценке. Поэтому применение САРМ на практике ограничено.

Для того чтобы она «работала», необходимо соблюдение таких заведомо нереалистических условий как наличие абсолютно эффективного рынка, отсутствие транзакционных издержек и налогов, равный доступ всех инвесторов к кредитным ресурсам и др. Тем не менее столь абстрактное логическое построение получило практически всеобщее признание в мире реальных финансов. Крупнейшие рыночные институты, такие как инвестиционный банк Menu Lynch, регулярно рассчитывают ?-коэффициенты всех крупных компаний, котирующихся на фондовых биржах. Отсутствие в России сформированной финансовой инфраструктуры пока еще препятствует использованию всего потенциала, заложенного в данную модель.

Поэтому рассмотрим пример расчета уровня ожидаемой доходности с использованием подхода САРМ па фондовом рынке США.

Компания, имеющая ?-коэффициснт 2,5, собирается привлечь дополнительный собственный капитал путем эмиссии обыкновенных акций. Уровень безрисковой процентной ставки составляет 6,25%, средняя доходность рынка, рассчитанная по индексу S&P 500, — 14%. Для того, чтобы сделать свои ценные бумаги привлекательными для инвесторов, компания должна предложить по ним ежегодный доход не ниже 25,625% [6,25 + 2,5 o (14 — 6,25)]. Размер премии за риск составит 19,375%. Столь существенные ограничения, накладываемые рынком на возможности снижения цепы капитала, устанавливают предел доходности инвестиционных проектов, которые компания собиралась финансировать привлекаемым капиталом: внутренняя норма доходности (ВНД) этих проектов должна быть не ниже 25,625%. В противном случае NPV проектов окажется отрицательной, т. е. они не обеспечат увеличения стоимости предприятия. Если бы ?-коэффициепт компании был 1,5, то размер премии за риск составил бы 11,625% [1,5 o (14 — 6,25)1, т. е. цена нового капитала была бы только 17,875% (рис. 30.12).

С целью преодоления отмеченных недостатков САРМ были предприняты попытки разработки альтернативных моделей риск — доходность; теория арбитражного ценообразования (Arbitrage Pricing Theory, АРТ) — наиболее перспективная из новых моделей.

Рис. 30.12. Взаимосвязь уровня? -коэффициента и требуемой доходности.

Пример 30.6. В таблице ниже приведена информация о доходности акции аЛУТЯ (/я,-) и индекс рынка (пг,) на протяжении десяти кварталов:

Известно, что эффективность безрисковых вложении равна 4%.

• 1. Постройте рыночную модель, где пг, — зависимая переменная, mr — объясняющая переменная.
• 2. Определите характеристики ценной бумаги: рыночный (или систематический) риск, собственный (или несистематический) риск, R2, а.
• 3. Приведите график построенной модели.
• 4. Постройте линию рынка ценных бумаг (SML). Решение.

Параметры модели найдем с помощью инструмента Регрессия Пакет анализа Excel1.

• 1. Ввод данных (рис. 30.13−30.14).
• 2. Результаты расчетов (табл. 30.7−30.9).

Рис. 30.13. Регрессия — выбор инструмента анализа.

Рис. 30.14. Заданы интервалы входных данных.

Таблица 30.7 Коэффициенты

Таблица 30.8. Дисперсионный анализ.

Таблица 30.9. Вывод остатка.

Используя данные табл. 30.7, полученную рыночную модель можно записать в виде т"; = 4,667 + 1,833/иг. Следовательно, р-коэффициент акции ОЗУТИ равен 1,833.

Пояснения для вычислений без ПЭВМ.

o Для вычисления собственного риска воспользуемся формулой а, = ?б (г)2/М:

а,? = 7,667/10 = 0,77 (7,667 из табл. 30.10).

Таблица 30.10. Дисперсионный анализ

Пояснения к табл. 30.10.

o Для вычисления систематического риска (или рыночного) необходимо сначала вычислить р? = 1,833; 1,833 = 3,36, затем определить величину рыночного риска Р? о^г~ 3,36 o 1,2 = 4,03.

Общий риск о? = р7с4. + о,? = 4,03 + 0,77 = 4,8.

o Р,-щиагес1 = 0,840 (из табл. 30.11). Щ = Р, 2<4/о2 = 4,03:4,8 = 0,84.

Это отношение характеризует долю риска данных ценных бумаг, вносимую рынком. Поведение акций компании ОЛУТР. на 84% предсказуемо с помощью индекса рынка.

Таблица 30.11. Регрессионная статистика

Рис. 30.15. График регрессионной модели.

Акции компании GLSYTR можно отнести к классу «агрессивных» ценных бумаг, так как коэффициент равен 1,833.

o График регрессионной модели зависимости доходности акций GLSYTR от индекса рынка приведен на рис. 30.15.